| Résume | Les invariants topologiques, notamment les nombres d’enlacement utilisés en théorie des nœuds et le concept de gabarits (knot-holder en anglais), sont très souvent utilisés pour décrire les propriétés topologiques des attracteurs chaotiques solutions des systèmes dynamiques très dissipatifs tridimensionnels. Dans cet exposé, nous introduirons brièvement la notion d’attracteurs chaotiques et la manière dont ils se structurent autour d’un squelette d’orbites périodiques instables, ces dernières pouvant être considérées comme des nœuds. Une grande classe des attracteurs chaotiques se structurent sur une population d’orbites périodiques construites au cours d’une cascade de doublements de période. Ces orbites périodiques – qui peuvent être considérées comme inscrites sur un espace tangent (un ruban) dont on étudie les propriétés – se caractérisent par des invariants topologiques pouvant être prédits à partir d’une dynamique symbolique avec l’aide d’une représentation par des tresses « torsadées » (framed braids).
Dans la seconde partie, nous développerons plus en détails le concept de gabarit (synthétisant les propriétés topologiques des orbites périodiques qu’il contient). Un gabarit peut être décrit algébriquement par une matrice d’enlacement. Nous introduisons deux conventions de manière à n’obtenir qu’un gabarit possible pour une matrice d’enlacement donnée. Nous proposons ensuite une loi additive et une loi multiplicative pour ces matrices d’enlacement qui permettent de manipuler (combiner) les différents mécanismes qui peuvent être distingués sur un attracteur chaotique (torsion, repliement, déchirement, mélange, etc.). Le tout sera agrémenté d’exemples de gabarits décrivant des attracteurs chaotiques plus ou moins connus. |
