| Résume | [travail en commun avec Jacques Thévenaz] Étant donné un anneau commutatif $k$, soit $kC$ la catégorie dont les objets sont les ensembles finis, et les morphismes les combinaisons $k$-linéaires de correspondances. Soit $CF_k$ la catégorie des foncteurs de correspondances (sur $k$), i.e. la catégorie des foncteurs $k$-linéaires de $kC$ vers la catégorie des $k$-modules.
La catégorie abélienne $CF_k$ possède des propriétés remarquables. Lorsque $k$ est noethérien, un sous-foncteur d'un foncteur de type fini est lui-même de type fini. Lorsque $k$ est un corps, les foncteurs de type fini sont caractérisés par le comportement exponentiel de leur dimension, et ce sont exactement les foncteurs de longueur finie. De même, lorsque $k$ est un corps, un foncteur de type fini est projectif si et seulement si il est injectif.
Nous associons un foncteur à correspondances $F_T$ à un treillis fini $T$ quelconque. La construction qui à $T$ associe $F_T$ s'étend en un foncteur pleinement fidèle d'une catégorie convenable $kL$ de treillis finis vers la catégorie $CF_k$, et ce foncteur est compatible à la dualité. Nous montrons aussi que $F_T$ est projectif si et seulement si $T$ est distributif.
Nous associons également un foncteur fondamental $S_E$ à tout ensemble ordonné fini E. Cela nous permet de décrire complètement les objets simples de $CF_k$, lorsque $k$ est un corps, et en particulier, de déterminer les dimensions de leurs évaluations. Un sous-produit de cette description est celle de tous les modules simples pour l'algèbre du monoïde des relations sur un ensemble fini. |
