| Résume | Avec J.-M. Hwang nous avons développé une théorie géométrique sur les variétés projectives uniréglées X modelées sur les variétés de tangentes rationnelles minimales Cx(X)⊂PTx(X). Hong-Mok a établi un principe de continuation analytique, dit le principe de Cartan-Fubini, pour les germes d’applications holomorphes f: (Z;z0)→(X;x0) qui envoient les variétés de tangentes rationnelles minimales dans les sections linéaires des variétés de tangentes rationnelles minimales. Récemment avec Y. Zhang nous avons considéré les sous structures géométriques C(S) ⊂ PT(S) sur des germes de sous variétés (S;x0) ⊂ (X;x0) qui s’obtiennent des intersections des espaces tangents avec les variétés de tangentes rationnelles minimales, C(S):=C(X)∩PT(S). Ceci améliore les résultats de Hong-Mok et Hong-Park sur la caractérisation de certains plongements équivariants X0 =G0/PG→G/P=X entre variétés homogènes rationnelles de nombre de Picard égal a 1, à savoir on a établi un théorème de rigidité pour les germes de sous variétés (S;0)⊂(X;0) munis de certaines sous structures géométriques C(S)⊂C(X) sans qu’il y aient d’applications holomorphes sous-jacentes. Par exemple, un germe de sous variété muni d’une structure sous-grassmannienne de rang ≥2 est standard, ce qui montre a fortiori que la structure est plate au sens de la théorie des G-structures. En même temps nous avons établi un principe de prolongement analytique des sous structures géométriques sur les variétés projectives uniréglées par des droites sous condition que les sous variétés de tangentes rationnelles minimales sont linéairement non dégénérées et qu’elles vérifient un nouveau critère de non dégénérescence par rapport à la deuxième forme fondamentale des paires de sous variétés projectives C0(X0)⊂C0(X). Zhang a également classifié les sous structures appartenant aux paires admissibles (G0/P0,G/P) de variétés symétriques de nombre de Picard égal à 1, montrant en même temps qu’il existent toujours des sous variétés S⊂G/P modelées sur (G0/P0,G/P)qui ne sont pas standards une fois la condition de non dégénérescence n’est pas vérifiée. |
