Séminaires : Séminaire des Thésards

Equipe(s) : doctorants,
Responsables :Sébastien Biebler, Vincent Dumoncel, Elba Garcia-Failde, Thiago Landim, Odylo Costa, Francesca Rizzo, Antoine Sedillot
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Description

Le séminaire des thésards est l'occasion pour les doctorants de présenter des résultats et des problématiques dignes d'intérêt devant un public de non-spécialistes. L'ambiance y est informelle ; poser des questions naïves est encouragé, et les questions moins naïves sont bienvenues dans la mesure où elles n'entravent pas le bon déroulement de l'exposé.

Un jeudi sur deux à 18h00, en alternance entre Jussieu et Sophie Germain.

Orateur(s) Kévin Destagnol - IMJ-PRG,
Titre Séminaire des thésards
Date16/04/2015
Horaire17:00 à 18:00
Diffusion
RésumeDe nombreux problèmes de théorie des nombres se ramènent à compter des points rationnels ou entiers sur des variétés algébriques. Autrement dit, étant donné un polynôme $ f \in Z [x_1,...,x_n] $ (ou un système d'équations polynomiales), on veut être capable de décrire l'ensemble des n-uplets $(x_1, ... , x_n) \in Z^n$ tels que $f(x_1, ..., x_n)=0$. On s'intéressera spécifiquement dans cet exposé aux cas où cet ensemble est infini. Que peut-on alors dire de la taille ou de la complexité de cet ensemble ? Pour tenter de répondre partiellement à cette question, je présenterai la conjecture de Manin, formulée en 1989 par Manin et ses collaborateurs. Si on considère la quantité $N(f ; B)$, donnée par l'ensemble des points $(x_1, ... , x_n) \in Z^n \ (0, ...,0)$ tels que $f(x_1, ..., x_n)=0$ et $\max(|x_i|\leq B, 1\leq i\leq n )$, la conjecture de Manin prédit, dans certains cas, le comportement asymptotique de $N(f ; B)$ lorsque $B$ tend vers $+\infty$ en termes d'invariants géométriques de la variété algébrique définie par le polynôme $f$. On justifiera ainsi en un sens la célèbre maxime"La géométrie gouverne l'arithmétique". Pour terminer, je mettrai en évidence le rôle majeur que joue la théorie analytique des nombres dans le traitement de cette conjecture.

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