Séminaires : Séminaire des Thésards

Mark N >= 2 points on both the top and bottom circles of a vertical cylinder. Call a N-diagram any non-intersecting pattern of links between these 2N marked points. Then one can define by concatenation a multiplication on the set of formal linear combinations of N-diagrams. The resulting algebra aTLN is called the affine Temperley-Lieb algebra and is of fundamental importance in modern representation theory and statiscal mechanics. In this talk, we will uncover the "structure" of a physically signifiant family of representations of aTLN (the so-called XXZ periodic spin chains) and draw plenty of beautiful lines on cylinders. We will see that our result allows us to extend famous mathematical results (such as the quantum Schur-Weyl duality) and hints the asymptotic behavior of statistical models on lattices.

Pick a polynomial of degree d in n variables which takes only non-​negative values. Is it the sum of squares of polynomials? The answer was given by Hilbert in 1888 who showed that this is only true in three cases: n=1 and d arbitrary, n arbitrary and d=2, n=2 and d=4. We will prove the first two cases of this theorem and give Motzkin’s explicit counterexample of a non-​negative polynomial which is not a sum of squares of polynomials. A refinement of the above question leads to what is now known as Hilbert’s 17th problem: Is every non-​negative polynomial a sum of squares of rational functions? The answer to this question is yes, and was given by Artin in 1927. Its proof was very influential and fostered the development of real algebra. We will discuss the relevant concepts from real algebraic geometry, and finish by sketching a proof of Artin’s theorem.

Using derived equivalences we can compare ordered sets, and more generally quivers with relations, in non trivial ways. In this talk we will see how this abstract concept can be manipulated in a very concrete and combinatorial way on the lattice of order ideals of grids, which are a familly of ordered sets related to Dyck paths, having interesting properties.

Representation Theory studies the symmetries a group is able to produce on vector spaces. This approach allows us to study a given group using the tools one knows from Linear Algebra. One way of producing vector spaces is linearizing geometric objects, and now one is able to use Topology, Algebraic Geometry, etc. One of theses bridges between Representation Theory and Geometry is given by the Springer Theory, and it allows to recover, in particular, all of the representations of S_n.

By the Beauville-Bogomolov decomposition theorem, hyper-Kaehler manifolds form building blocks of compact Kaehler manifolds whose canonical bundle is numerically trivial. By fundamental works of Matsushita, Hwang, Voisin and many others, the study of Lagrangian families is important to understand properties of hyper-Kaehler manifolds. In this presentation, after recalling some basic notions in complex geometry and algebraic geometry, I will present basic properties and examples of hyper-Kahler manifolds, with an emphasis on their algebraic cycles which are Lagrangian. If time permits, I would also present our recent works on Abel-Jacobi maps of Lagrangian families.

La théorie des hérissons a été développée par Yves MARTINEZ MAURE depuis le début des années 90 et a pour objets de prolonger la théorie de Brunn-Minkowski aux différences formelles de corps convexes. Cela lui a permis de résoudre le problème de la conjecture d'Alexandre Danilovitch ALEXANDROV en produisant un contre-exemple en 2001.

La définition d'un hérisson a été proposé par Langevin, Levitt et Rosenberg en 1985 lorsqu'ils ont considéré une généralisation naturelle des corps convexes de classe $C^2_+$ dans $\R^{n+1}$.

Ils utilisèrent alors dans leur construction que le bord d'un tel corps correspondait à l'enveloppe d'une famille d'hyperplan de la forme $\Sigma_u = h\PAR{u}u + \PAR{\R u}^\PERP$, avec $\DEFa{h}{\S^2}{\R}$ ne fonction de classe $C^2$. C'est précisément l'enveloppe d'une telle famille hyperplan qui a été nommée hérisson.

Cela nous donne la correspondance suivante:

\begin{center}

Corps convexe $\longleftrightarrow$ Hérisson (le bord du corp) $\longrightarrow$ Fonction de support 

\end{center}

Nous savons naturellement que le bord de la somme de Minkowski de deux corps convexes correspond à la somme des bords de chacun de nos corps. Si on veut prolonger la théorie de Brunn-Minkowski aux différences formelles de corps convexes il nous suffit de considérer les différences de bord de corps convexe.

Nous savions jusqu'à présent que pour chaque corps convexe correspondait une fonction de support $\DEFa{h}{\S^2}{\R}$ tel que le bord du corps convexe est l'enveloppe de la famille des hyperplans $\Sigma_u$. À partir de là il nous suffit de considérer pour chaque fonction $\DEFa{h}{\S^2}{\R}$ classe $C^2$ l'enveloppe des hyperplans $\Sigma_u$ que nous appellerons hérisson.

L'étude des propriétés des hérissons correspond naturellement au prolongement de la théorie de Brunn-Minkowski aux différences formelles de corps convexes.

Dans cet exposé, je tenterai de vous proposer une construction équivalente à la théorie des hérissons sur l'espace hyperbolique et plus généralement sur les variétés à courbure sectionnelle constante. Je vous proposerai une définition des hérissons sur l'espace hyperbolique, et nous en étudierons la cohérence, l'existence ainsi que les différentes représentations de la même manière que nous pouvons les trouver dans $\R^{n+1}$ par les très divers travaux de Yves MARTINEZ MAURE. Nous finirons cet exposé par deux questions d'ouverture. La première traitant de la méthode de construction d'opération sur les hérissons de l'espace hyperbolique pouvant correspondre à l'équivalent naturel de la somme de Minkowski des corps g-convexe de l'espace hyperbolique proposé par Kurt Leichtweiß dans son article publié en 2003 "On the addition of convex sets in the hyperbolic plane". Et la deuxième traitant de la possibilité de construire une géométrie de co-contact sur le Lorentziarisé (ie $M \times \R$ muni de la métrique $g - dt^2$, avec $M$ une variété Riemannienne) d'une $3$-variété Riemannienne à courbure sectionnelle constante comme l'a déjà observé Yves MARTINEZ MAURE dans son article de 2017 "New insights on marginally trapped surfaces" sur l'espace de Minkowski. 

La géométrie énumérative est une branche de la géométrie algébrique qui s'attelle à compter le nombre d'objets géométrique satisfaisant certaines conditions. Un problème les important consiste, par exemple, à compter des courbes dans une variété fixée. 

La technique couramment utilisée consiste à créer un espace de paramètre de tous les objets que l'on souhaite compter (un espace de modules). A chaque contrainte de notre problème va alors correspondre une sous-variété de cet espace. Il s'agît enfin de compter le nombre d'intersections entre ces sous-variétés pour obtenir le résultat.

Dans cet exposé, nous présenterons les principaux espaces de modules rencontrés en géométrie énumérative, c'est-à-dire l'espace de module des courbes, et des applications stables. Pour finir, nous évoquerons un théorème de Kontsevich, qui donne une formule récursive pour le nombre de courbes passant par un certain nombre de points dans le plan projectif.

La mécanique hamiltonienne, formulée par Hamilton en 1833, décrit les mouvements d’un objet dont l’énergie est conservée au moyen d’un système d’équations différentielles du premier ordre. On peut parfois trouver des coordonnées dans lesquelles un système hamiltonien donné a une forme très simple : le système est alors dit "intégrable". Nous présenterons un théorème central dans la théorie de l’intégrabilité, le théorème d’Arnold-Liouville, puis nous observerons comment généraliser cette théorie à la dimension infinie afin d’étudier certaines EDP hamiltoniennes.

Nous présenterons dans cet exposé les idées clefs, initiées notablement par les travaux de Lott et Villani, établissant qu’une borne sur la courbure (de Ricci) d’une variété est équivalente à la convexité de l’entropie de Rényi. Nous nous intéresserons à exposer le mécanisme à l’oeuvre derrière cette équivalence, qui nous révèle en quel sens la physique mathématique ayant lieu au sein d’un espace caractérise sa géométrie.

Si le temps le permet, nous effectuerons un survol des développements plus récents en lien avec cette théorie, ayant aboutit à la naissance d’un vaste domaine d’étude combinant l’analyse, la géométrie métrique et la théorie géométrique de la mesure.

On arrivera sans douleur à ce résultat à l'aide de nombreux exemples, ainsi qu'en faisant un détour par les représentations des groupes finis et en démystifiant quelque peu la topologie p-adique. Pour illustrer le propos, disons que \(G=GL_n(\mathbb{Q}_p)\) et k la clôture algébrique d'un corps fini de caractéristique \(\ell \neq p\). La décomposition de Bernstein modulaire, établie par Marie-France Vignéras, décrit la catégorie \(Rep_k(G)\) des représentations lisses de G à coefficients dans k comme un produit de catégories indécomposables -- qu'on appelle des blocs -- à condition que \(\ell\) ne divise pas le pro-ordre de G Plus généralement, celle-ci est valable avec les mêmes hypothèses quand G est un groupe connexe réductif p-adique.

En théorie ergodique, le Lemme de Rokhlin est un outil très puissant pour étudier la dynamique des transformations préservant la mesure d'un espace de probabilité \((X,\mu)\). Dans un premier temps nous présenterons ce lemme et nous en donnerons une conséquence classique : à erreur arbitrairement petite, il n'existe qu'une seule transformation non triviale de \((X,\mu)\) préservant la mesure.
Une fois ce résultat établi, nous nous intéresserons à le généraliser à des actions de groupes dénombrables, sur un espace \((X,\mu)\), par transformations préservant la mesure; le cas d'une simple transformation représentant une action du groupe des entiers \(\mathbb{Z}\). Ce sera l'occasion de parler de groupes moyennables et élémentairement moyennables, ainsi que de questions de pavage dans les groupes.

On s’intéresse à la situation suivante : X est une famille de variétés algébriques complexes paramétrée par le disque épointé, dont les équations dépendent de manière méromorphe en t. On se donne de plus sur chacune de ces variétés une mesure de probabilité et l’on veut comprendre le comportement asymptotique de ces mesures quand t -> 0.
Le but de cet exposé est de définir un espace hybride canoniquement associé à X, mélangeant des espaces « habituels » à un espace nonarchimédien à la topologie agréable et dans lequel on peut donner un sens à la convergence des mesures.

Imaginons un vote de N participants, qui prend la valeur 1 si la majorité a répondu oui, et la valeur -1 sinon. Le résultat du vote va-t-il etre modifié si une erreur de transmission est commise sur une fraction epsilon des N participants ? La plupart du temps, non. On dira que la fonction "Majorité" est stable, ou insensible "au bruit". (A l'inverse, en physique statistique, certaines configurations géométriques, définies en se plaçant au paramètre critique, sont hautement sensibles à de petites modifications locales. ) Une des premières "mesures" proposées pour quantifier "la complexité" d'une fonction booléenne, est la sensibilité dite locale, notée s(f), introduite par Cook et Dwork lors de leur étude de certains processeurs appelés CREW PRAM. Peu de temps après, Noam Nisan propose une autre mesure, la sensibilité par blocs, qui caractérise la difficulté de calcul qui intéressait Cook et Dwork. Depuis, cette dernière a été montrée polynomialement équivalente à d'autres mesures de complexité, telles que la complexité par certificat, celle par arbre de décision, ... Pendant des dizaines d'années, personne ne parvenait à montrer que la sensibilité locale s(f) était elle aussi dans cette classe d'équivalence (cette appartenance conjecturée s'appelle conjecture de Nisan et Szegedy). Par un argument simple et joli de théorie des graphes, et en utilisant une reformulation combinatoire de la conjecture (due à Gotsman et Linial), H. Huang a finalement prouvé la conjecture de Nisan et Szegedy : nous discuterons sa preuve après avoir introduit les différentes notions.

Résumé : Let F be a non-archimedean locally compact field, and k be an algebraically closed field, and G be a connected reductive group over F. In this talk, wed will give a block decomposition of Repk(G(F)), the category of smooth k-representations of G(F). We will also give an explanation from the point of view of local Langlands correspondence.

A knot is a piece of chord whose ends have been glued together in some way. Given a knot one asks : is it possible to untangle the knot without breaking the chord ? You may have asked yourself this question before when taking your headphones from your pocker.

To answer this question one construct "invariants" of knots, that is, quantities (numbers, polynomials, groups) that are unchanged through deformations of the knot that don't break the chord. If a given invariant of a knot is non-trivial then the knot cannot be untangled, but the converse is often not true.

In this talk we will introduce the simplest polynomial invariant of a knot, the Alexander polynomial, which comes from classical algebraic topology. We will then motivate a more recent and powerful construction from 2002 due to Ozsvath-Szabo and Rasmussen : an invariant taking the form of a (Floer) homology theory whose Euler characteristic is the Alexander polynomial and which contains deep topological information of the knot. In particular, if this homology is trivial, then the knot can indeed be untangled.

Let G be a semi-simple algebraic group over an algeraically closed field of positive characteristic and let B be a Borel subgroup. The cohomology of the G-equivariant line bundles on G/B induced by a one dimensional B-module are important objects in the representation theory of G.

In this talk, I will start by recalling some results about them, due to Kempf, Griffith, Andersen, Jantzen, etc. Then I will present some new results for G=SL3 obtained in my thesis. More precisely, I have proved the existence of two filtrations of Hi(G/B,μ). The first exists for i=1,2 and μ in the Griffith region. The second, which generalizes the p-filtration introduced by Jantzen, exists for all i and μ.

Une partition d’un nombre entier positif n est une suite Λ : (λ_1,...,λ_l) telle que λ_1+...+λ_l =n. Les entiers qui apparaissent sont appelés les parties de Λ.
Ma recherche est centrée sur l’étude des partitions des nombres
entiers et les identités entre elles. On étudie ce type d’identités en utilisant la relation entre les séries génératrices des partitions et les séries de Hilbert-Poincaré des algèbres graduées associées à un objet important de la géométrie algébrique : l’espace des arcs.
Une de ces identités est l’identité de Rogers-Ramanujan. En utilisant des idéaux différentiels et des méthodes venant de l’espace des arcs, nous trouvons une famille d’identités de type Rogers-Ramanujan. Ensuite, nous énonçons une conjecture qui pourrait ajouter un nou- veau membre aux identités de Gordon qui sont une généralisation des identités de Rogers-Ramanujan.

Modern treatment of abstract harmonic analysis is based on the Pontryagin duality for locally compact abelian groups. A tremendous work has been done to generalize this duality to cover all locally compact groups, culminating in the theory of Kac algebras and locally compact quantum groups.

I will focus on one aspect of the algebraic side of this story - the theory of multiplier Hopf algebras proposed by van Daele, and formulate the analogue of the Pontryagin duality for these objects.

Dans les années 80, A. Connes a montré le rôle important que les groupoides de Lie jouent dans la compréhension des opérateurs différentiels. Dans cet exposé, je vais introduire la notion de groupoïde de Lie, de symbole principal d’un opérateur différentiel, et expliquer le lien entre les deux. Si le temps le permet, je vais aussi énoncer le théorème d’indice d'Atiyah-Singer, et comment le point vu d’A. Connes permet de démontrer et mieux comprendre ce théorème.

Soit X un sous-ensemble fini d'un espace euclidien, donné par le résultat d'une expérience scientifique. Si l'on croit que X cache une structure topologique intéressante (par exemple s'il est proche d'une sous-variété M) et que l'on essaye de la comprendre, alors on dit que l'on fait de l'Analyse Topologique des Données.

Plutôt que de reconstruire (au type d'homotopie près) la sous-variété sous-jacente M à partir de X (procédure instable et difficile en grande dimension), la théorie de l'homologie persistante permet d'estimer l'homologie (singulière) de M à partir de X, à travers ce que l'on appelle le diagramme de persistance de X. J'expliquerai dans cet exposé le formalisme algébrique dans lequel s'exprime cette théorie, avec des exemples de nature topologique.

Cluster algebras were introduced in the late 90's by Fomin and Zelevinsky out of attempts to understant the combinatorics of canonical bases for quantum groups. Cluster algebras turned out to be very interesting in themselves and many connections appeared with various fields of mathematics, such as tropical geometry, representation theory, knot theory, Poisson geometry, etc.

In 2008, Hernandez and Leclerc proposed to identify cluster algebras with Grothendieck rings of categories appearing in representation theory. The idea is that there should be a correspondence between generators of a cluster algebra A and certain distinguised objects in a category C. In this framework we will explain how such correspondence can yield relationships between parametrizations of simple objects in C and cluster algebra invariants. Using the recent works of Kand-Kashiwara-Kim-Oh, we will focus on the case of categorification of cluster algebras via representations of quiver Hecke algebras.

Nous nous intéressons à l'estimation de la première valeur propre du Laplacien-Dirichlet λ1 dans le cas des convexes du plan.

Nous commençons par rappeler les inégalités classiques entre λ1 et d'autres quantités, puis nous présenterons un diagramme dit de Blaschke-Santallo liant λ1 au périmètre et au volume. Ce type de diagramme permet de visualiser de manière claire les inégalités possibles entre les différentes quantités considérées. Nous terminerons l'exposé avec la démonstration de quelques nouveaux résultats et l'exposition de quelques simulations numériques réalisées pour valider des travaux théoriques sur l'optimisation de forme sous contrainte de convexité.

Since set theory was created by Cantor in the late 19th century, one of the major and most sophisticated problems in the field has been the Continuum hypothesis : There is a subset of the real line which is neither countable nor in bijection with the real line itself.

In his 1938 seminal work, K. Gödel showed that "one cannot prove that the Continuum hypothesis is wrong". On the other hand, in his revolutionnary work of 1963, which is the achievement he was awarded the Fields medal for, P. Cohen showed using the method of forcing that "no one can prove that the Continuum hypothesis is true".

Soon after, his method has been applied to other branches of mathematics to answer certain long standing open questions. The talk aim to expose the essence of Cohen's method, to give some applications in various branches of mathematics, and to demonstrate how naturally it connectes to the Baire category theorem.