Séminaires : Séminaire des Thésards

Equipe(s) : doctorants,
Responsables :Sébastien Biebler, Vincent Dumoncel, Elba Garcia-Failde, Thiago Landim, Odylo Costa, Francesca Rizzo
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Description

Le séminaire des thésards est l'occasion pour les doctorants de présenter des résultats et des problématiques dignes d'intérêt devant un public de non-spécialistes. L'ambiance y est informelle ; poser des questions naïves est encouragé, et les questions moins naïves sont bienvenues dans la mesure où elles n'entravent pas le bon déroulement de l'exposé.

Un jeudi sur deux à 18h00, en alternance entre Jussieu et Sophie Germain.


Orateur(s) Romain Sieuzac - IMJ-PRG,
Titre Sur les $G$-hérissons
Date21/04/2022
Horaire17:30 à 18:30
Diffusion
Résume
La théorie des hérissons a été développée par Yves MARTINEZ MAURE depuis le début des années 90 et a pour objets de prolonger la théorie de Brunn-Minkowski aux différences formelles de corps convexes. Cela lui a permis de résoudre le problème de la conjecture d'Alexandre Danilovitch ALEXANDROV en produisant un contre-exemple en 2001.
La définition d'un hérisson a été proposé par Langevin, Levitt et Rosenberg en 1985 lorsqu'ils ont considéré une généralisation naturelle des corps convexes de classe $C^2_+$ dans $\R^{n+1}$.
Ils utilisèrent alors dans leur construction que le bord d'un tel corps correspondait à l'enveloppe d'une famille d'hyperplan de la forme $\Sigma_u = h\PAR{u}u + \PAR{\R u}^\PERP$, avec $\DEFa{h}{\S^2}{\R}$ ne fonction de classe $C^2$. C'est précisément l'enveloppe d'une telle famille hyperplan qui a été nommée hérisson.
Cela nous donne la correspondance suivante:
\begin{center}
Corps convexe $\longleftrightarrow$ Hérisson (le bord du corp) $\longrightarrow$ Fonction de support 
\end{center}
Nous savons naturellement que le bord de la somme de Minkowski de deux corps convexes correspond à la somme des bords de chacun de nos corps. Si on veut prolonger la théorie de Brunn-Minkowski aux différences formelles de corps convexes il nous suffit de considérer les différences de bord de corps convexe.
Nous savions jusqu'à présent que pour chaque corps convexe correspondait une fonction de support $\DEFa{h}{\S^2}{\R}$ tel que le bord du corps convexe est l'enveloppe de la famille des hyperplans $\Sigma_u$. À partir de là il nous suffit de considérer pour chaque fonction $\DEFa{h}{\S^2}{\R}$ classe $C^2$ l'enveloppe des hyperplans $\Sigma_u$ que nous appellerons hérisson.
L'étude des propriétés des hérissons correspond naturellement au prolongement de la théorie de Brunn-Minkowski aux différences formelles de corps convexes.
Dans cet exposé, je tenterai de vous proposer une construction équivalente à la théorie des hérissons sur l'espace hyperbolique et plus généralement sur les variétés à courbure sectionnelle constante. Je vous proposerai une définition des hérissons sur l'espace hyperbolique, et nous en étudierons la cohérence, l'existence ainsi que les différentes représentations de la même manière que nous pouvons les trouver dans $\R^{n+1}$ par les très divers travaux de Yves MARTINEZ MAURE. Nous finirons cet exposé par deux questions d'ouverture. La première traitant de la méthode de construction d'opération sur les hérissons de l'espace hyperbolique pouvant correspondre à l'équivalent naturel de la somme de Minkowski des corps g-convexe de l'espace hyperbolique proposé par Kurt Leichtweiß dans son article publié en 2003 "On the addition of convex sets in the hyperbolic plane". Et la deuxième traitant de la possibilité de construire une géométrie de co-contact sur le Lorentziarisé (ie $M \times \R$ muni de la métrique $g - dt^2$, avec $M$ une variété Riemannienne) d'une $3$-variété Riemannienne à courbure sectionnelle constante comme l'a déjà observé Yves MARTINEZ MAURE dans son article de 2017 "New insights on marginally trapped surfaces" sur l'espace de Minkowski. 
Salle15-16 413
AdresseCampus Pierre et Marie Curie
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