| Résume | Les conjectures de Hodge, Tate et Mumford-Tate sont intimement reliées les unes aux autres. Elles ont été formulées pour toute variété projective lisse, néanmoins on se consacrera dans cet exposé aux variétés abéliennes.
D'un côté la conjecture de Hodge $(H)$, énoncée en 1950, affirme que toute classe de Hodge s'écrit comme combinaison $Q$-linéaire de classes algébriques d'une variété abélienne complexe $X_C$. De l'autre côté la conjecture de Tate $(T)$, énoncé en 1963, affirme que toute classe de Tate s'écrit comme combinaison $Q_l$-linéaire de classes algébriques d'une variété abélienne $X_k$ sur un corps de nombres $k$ pour tout nombre premier $l$.
En 1966 Mumford et Tate ont constaté que les deux conjectures précédentes étaient plus ou moins équivalentes, quitte à tensoriser le groupe de Hodge par $Q_l$ pour obtenir le groupe $H_l$, que l'on voudrait appeler "groupe de Tate"; ce qui donna naissance à la conjecture de Mumford-Tate $(MT)$.
Le but de cet exposé sera de présenter clairement les trois conjectures, dans le cas des variétés abéliennes. De même on établira les liens existant entre ces trois conjectures, à savoir $(MT)+(H) \Leftrightarrow (T)$, dans le cas de ces variétés. Finalement on éclaircira cette dernière équivalence avec des exemples. On utilisera comme fil conducteur les courbes elliptiques. |
