| Résume | Au
début du 20ème siècle Paul et Tatiana Ehrenfest ont introduit un modèle
pour le vent qui souffle entre les arbres. On observe une forêt avec
des arbres carrés, et on s'intéresse au comportement des particules de
vent qui rebondissent sur les arbres suivant les lois de réflexion.
Comment la trajectoire d'une particule donnée va se comporter pour un
temps assez long ? À quelle vitesse s'écarte-t-elle de l'origine?Récemment,
plusieurs découvertes ont été faîtes sur ces questions. La particule de
vent s'éloigne de l'origine de façon asymptotiquement polynomiale en le
temps. La puissance maximale associée, le taux de diffusion, a été
calculé dans divers exemples. Pour le mouvement brownien, ou une forêt
périodique avec des arbres circulaires, ce aux est de $1/2$; dans notre
modèle de forêt aux arbres carrés ce taux est de $2/3$ ! Par ailleurs
pour une forêt où les arbres approchent la forme du cercle par des
carrés olygones à angles droits, ce taux tend vers zéros quand le nombre
d'angle augmente ! Ces quelques propriétés donnent un aperçu d'à quel
point cette théorie peut être riche et surprenante.Les outils
développés pour étudier ces problèmes utilisent largement les dernières
avancées dans la compréhension des sous-espaces invariant par l'action
de $SL_2 \mathbb(R)$ dans l'espace de Teichmüller. En particulier des
théorèmes très profonds de A. Eskin et M. Mirzakhani. Je présenterai
simplement l'intuition derrière ces phénomènes, et quelques aspects de
la très belle géométrie sous-jacente, l'exposé sera très visuel et peu
technique. |
