| Résume | Soit Γ un réseau hyperbolique complexe uniforme, c'est à dire un sous-groupe discret de SU(n,1) agissant de manière cocompacte sur l'espace hyperbolique complexe SU(n,1)/U(n). Si est une représentation, i.e. un morphisme, de Γ dans un groupe de Lie semisimple de type hermitien, l'invariant de Toledo fournit une mesure de la "taille complexe" de ρ. Les représentations maximales sont celles qui maximisent cet invariant. Nous montrons que si ρ est une représentation maximale de Γ dans un groupe hermitien classique G, et si n≥2, alors nécessairement G=SU(p,q) avec p≥nq, et il existe un plongement ρ-équivariant, holomorphe ou antiholomorphe, totalement géodésique et homothétique, de l'espace hyperbolique complexe dans l'espace symétrique associé à G. De manière équivalente, à indice fini près et modulo une représentation dans un groupe compact, la représentation ρ s'étend en un morphisme de SU(n,1) dans G. La preuve utilise la théorie des fibrés de Higgs associés aux représentations des groupes Kähler ainsi que la dynamique et la géométrie du feuilletage tautologique sur le projectifié du fibré tangent des variétés hyperboliques complexes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Vincent Koziarz. |
