| Résume | Nous décrirons la topologie d'une courbe analytique réelle singulière du plan, et plus précisément d'une composante connexe de son lieu réel de dimension 1.
Le problème est d'abord de nature locale : au voisinage d'une singularité, la courbe intersecte un petit disque sur un certain nombre de cordes, disjointes en dehors du point singulier. Ces cordes apparient les points du cercle au bord selon un motif, c'est un diagramme de cordes que l'on qualifie d'analytique. Tous les diagrammes de cordes ne sont pas analytiques et nous verrons comment Etienne Ghys a trouvé une condition nécessaire à l'analycité d'un diagramme par éclatement successifs de la surface (procédé sur lequel nous reviendrons). Nous évoquerons alors diverses caractérisations combinatoires des diagrammes de cordes analytiques, dont l'une permet de les énumérer (par une série génératrice algébrique).
Une courbe analytique singulière du plan possède des singularités, connectées entre elles par des arcs lisses. Etant donné une telle configuration, c'est à dire un certain ensemble de diagrammes de cordes analytiques (que l'on peut représenter dans le plan par des germes analytiques) et dont on a relié les extrémités des cordes par des arcs lisses, on peut se demander lesquelles sont des composantes connexes du lieu de dimension 1 d'une courbe algébrique réelle singulière. A nouveau, la solution s'obtiendra par éclatements, et valable sur une surface analytique quelconque.
|
