Séminaires : Séminaire Géométrie et Topologie

Étant donné deux entiers n>2 et m>0, nous construisons m variétés hyperboliques compactes sans bord de dimension n deux à deux non commensurables du même volume et de la même systole <1/m, possédant chacune une seule géodésique fermée de longueur minimale.

Dans un travail classique, Bowen et Margulis ont démontré l'équidistribution des géodésiques fermées dans n'importe quelle variété hyperbolique. Avec Jeremy Kahn et Vladimir Marković, nous nous sommes demandés ce qui se passait si on remplaçait les courbes par des surfaces.

Les analogues naturels des géodésiques fermées sont alors les surfaces minimales, car les surfaces totalement géodésiques n'existent que très rarement. D'autre part, il est néanmoins pertinent (pour plusieurs raisons, notamment pour garantir l'unicité du représentant minimal) de se restreindre à des surfaces qui sont presque totalement géodésiques. Les statistiques de ces surfaces dépendent alors très fortement de la façon dont on les ordonne : par genre, ou par superficie.

Si on considère des surfaces dont la *superficie* tend vers l'infini, nous conjecturons qu'elles s'équidistribuent, à l'instar des courbes ; nous avons démontré un résultat partiel dans cette direction. Si on considère en revanche des surfaces dont le *genre* tend vers l'infini, la situation est radicalement différente : nous avons démontré qu'elles s'accumulent alors sur les surfaces totalement géodésiques (pour peu qu'il en existe).

Les résultats de comptage de courbes sur des surfaces hyperboliques de M.Mirzakhani ont été retrouvés et étendus par Erlandsson-Souto en prouvant des théorèmes de convergence pour certaines suites de mesures. En 2022, N.Bell a obtenu des résultats semblables à ceux de M.Mirzakhani pour le comptage d'arcs dans une surface à bords. Dans cet exposé on introduira les méthodes par convergence de mesures et on verra comment adapter celles-ci au cas des arcs.

On présente un nouvel invariant topologique pour les arrangements de droites complexes dans CP^2, qui forment une famille particulière de courbes algébriques planes. La motivation principale est d’identifier des paires de Zariski d’arrangements qui ont la même combinatoire sans être équivalents. En utilisant des idées développées par B. Guerville-Ballé et W. Cadiegan-Schlieper, on considère l’application inclusion de la variété-bord d’un arrangement dans son extérieur et son effet sur les classes d’homologie. Une étude approfondie de la structure graphée de Waldhausen de la variété-bord permet d’identifier des générateurs spécifiques de son homologie. L’information de leurs images potentielles dans l’extérieur est collectée dans un groupe, le stabilisateur du graphe, qui a une présentation combinatoire simple, et dans lequel est défini l’invariant. On utilise une implémentation en Sage et la monodromie de tresses pour calculer l’invariant dans certains exemples, et ainsi produire de nouvelles paires de Zariski ordonnées.

Si K est un sous ensemble de Cantor d'une droite, on s'intéresse aux groupes de difféomorphismes de K, c'est à dire des homéomorphismes qui sont localement la restriction d'un difféomorphisme de la droite (d'une certaine régularité à choisir). La structure d'un tel groupe dépend grandement de K, et peut être plus riche qu'un groupe de difféomorphismes de la droite ou du cercle : par exemple le groupe V de Thompson, qui contient notamment tous les groupes finis, peut être vu comme un groupe de difféomorphismes de l'ensemble Cantor triadique.
Avec Emmanuel Militon (Université Côte d'Azur), nous obtenons plusieurs résultats généraux vérifiés par un tel groupe G :
- Si G est finiment engendré et n'a que des éléments d'ordre fini, alors il est fini (propriété de Burnside).
- Si G ne contient pas de semigroupe libre à 2 générateurs, alors il est virtuellement abélien.
- Si G ne contient pas de groupe libre à 2 générateurs, alors il préserve une mesure de probabilité sur K (propriété de Tits)
Je tâcherai d'expliquer plus précisément le contexte, les résultats et quelques éléments de preuve.

An Anosov representation of a hyperbolic group $\Gamma$ is a representation which quasi-isometrically embeds $\Gamma$ into a semisimple Lie group, in a way which mimics and generalizes the dynamical behavior of a convex cocompact representation into a rank one Lie group. It is unknown whether every linear hyperbolic group admits an Anosov representation. In this talk, I will discuss joint work with Sami Douba, Balthazar Flechelles, and Feng Zhu, which shows that every hyperbolic group that acts geometrically on a CAT(0) cube complex admits a 1-Anosov representation into SL(d, R) for some d. Mainly, the proof exploits the relationship between the combinatorial geometry of right-angled Coxeter groups and the projective geometry of a convex domain in real projective space on which a Coxeter group acts by reflections.

C’est une ancienne conjecture que toute capacité symplectique valant la largeur de Gromov sur tous les ellipsoïdes est univoquement déterminée sur tous les domaines convexes. Nous regarderons d’autres normalisations possibles en termes de capacité de Ekeland Hofer et l’implication sur la caractérisation des capacités sur les domaines convexes ou toriques. Ceci est un travail en collaboration avec Vinicius Ramos.

Je vais présenter un travail récent en collaboration avec Simon Machado (ETH Zürich) dans lequel nous prouvons une borne supérieure sur la multiplicité des premières valeurs propres du Laplacien sur une surface de courbure négative, en fonction de son genre. Notre méthode, qui repose sur des estimées du noyau de la chaleur et un argument géométrique provenant de la théorie des graphes, permet aussi de prouver une borne supérieure sur le nombre de valeurs propres dans une petite fenêtre spectrale, et cette dernière borne est quasiment optimale. Enfin, cette méthode s'étend aux variétés de dimension plus grande que 2.

Je décrirai une correspondance bijective entre, d’une part, les espaces temps anti-de Sitter globalement hyperboliques Cauchy compacts et convexes de dimension 2k+1 et, d’autre part, les quotients (ou \emph{formes de Clifford—Klein}) compacts de l’espace pseudo-riemannien symétrique $\mathrm{O}(2k,2)/\mathrm{U}(k,1)$. Cette correspondance repose sur des travaux avec Fanny Kassel, Daniel Monclair et Jean-Marc Schlenker.

L'espace des représentations du groupe fondamental d'une surface fermée dans PSL(n,R) contient une composante connexe exotique consistant entièrement de représentations discrètes et fidèles : la composante de Hitchin. Pour n = 2, cette composante s'identifie avec l'espace de Teichmüller et l'étude de ses compactifications a conduit à de nombreux résultats influents. Le but de cet exposé est de présenter la composante de Hitchin, sa compactification par le spectre réel et comment nous pouvons interpréter ses points limites géométriquement comme des représentations dans PSL(n,F), où F est un corps réel clos, qui admettent des courbes limites positives dans les variétés de drapeaux sur F.

J'expliquerai comment associer à un ensemble strictement convexe de R^n une famille de longueurs naturelles et comment former les séries de Poincaré correspondantes dans ce cadre. Je discuterai les propriétés de régularité de ces fonctions (analyticité, etc.) en essayant de mettre en évidence le lien avec les propriétés fonctionnelles de certains systèmes dynamiques intégrables sous-jacents. Il s'agit de travaux avec N.V. Dang, Y. Guedes Bonthonneau et M. Léautaud.

Dans cet exposé je présenterai la construction d’un fibré des multijets pour les fonctions lisses. Le multijet d’une fonction f est une généralisation de la notion de jet, défini comme la classe de f modulo certaines relations d’incidences en différents points de l’espace. Cet objet apparait naturellement dans l’étude d’hypersurfaces aléatoires obtenues comme lieu d’annulation de champs gaussiens sur une variété. J’expliquerai notamment comment il permet de montrer que le volume de ces hypersurfaces aléatoires a des moments finis à tout ordre. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Michele Ancona.

Voir: https://www.imj-prg.fr/gestion/evenement/affEvenement/102

We study homeomorphisms of the open annulus from a topological perspective, introducing simple computable criteria related to mild twist conditions (pair of periodic points with different rotation numbers), which implies the existence of rotational horseshoes and so positive topological entropy. As consequences, we obtain applications in surface dynamics including a final answer to a classical conjecture, showing that the existence of an invariant circloid with nontrivial rotation set implies chaos. Moreover, quantitative versions of the results can be used for numerical proofs of the existence of chaos, both in the conservative and dissipative settings.

J. with A. Passeggi

(travail en commun avec F. Guéritaud et E. Piguet-Nakazawa)

Le complémentaire d’un nœud dans la sphère de dimension 3 est une 3-variété ouverte, dont le « bord » est une pointe torique. Il est parfois intéressant de décrire ce complémentaire de nœud par une triangulation idéale, c’est-à-dire un recollement de tétraèdres dont on a retiré les sommets.

En particulier, dans le cas où le nœud est hyperbolique (ce qui signifie que son complémentaire admet une unique métrique hyperbolique complète de volume fini), on dit qu’une triangulation du complémentaire est géométrique quand elle correspond à une décomposition dans l’espace hyperbolique du complémentaire en tétraèdres de volumes strictement positifs. Les triangulations géométriques sont naturellement utiles pour calculer des invariants topologiques et géométriques comme le volume hyperbolique.

Dans cet exposé, je vous présenterai une technique due à Thurston de construction de triangulation idéale d’un complémentaire de nœud, que nous avons appliquée à la famille infinie des nœuds twist, qui sont la plus simple famille de nœuds hyperboliques.

Puis je présenterai comment nous avons prouvé que ces triangulations des complémentaires des nœuds twist sont géométriques, en étudiant la fonctionnelle volume sur l’espace des structures d’angles à la Casson-Rivin. Cela nous a permis de démontrer ensuite une conjecture du volume en topologie quantique, mais ce point ne sera pas détaillé dans l’exposé.

Enfin, si le temps le permet, je présenterai une autre façon d’obtenir les mêmes triangulations, via une triangulation inhabituelle du complémentaire de l’entrelacs de Whitehead et un principe de triangulation d’un remplissage de Dehn dû à Guéritaud et Schleimer.

Dans cet exposé je parlerai de la dimension d'Hausdorff de l'ensemble limite des groupes de Schottky définis sur un corps normé complet quelconque. En 2021, Poineau et Turchetti ont construit un espace de modules pour ces groupes en utilisant la théorie des espaces de Berkovich sur Z. Je présenterai un résultat de continuité de la dimension d'Hausdorff des ensembles limites sur cet espace de modules. Nous finirons par une application sur la variation de la dimension d'Hausdorff d'une famille de groupes de Schottky sur C qui dégénère et qui peut se prolonger à une famille continue sur un espace de Berkovich. C'est un travail en cours avec Nguyen-Bac Dang.

Ce sera un exposé complètement introductif et donc un peu hétéroclite, en compagnie de Desargues, Hilbert, Nesin, et Weisfeiler. Il s'agira d'algèbre modèle-théorique, discipline qui combine l'algèbre géométrique (comme dans le joli livre d'Artin) et la théorie des modèles (la définissabilité à la Tarski).
J'essaierai de raconter dans quelle mesure la géométrie des involutions caractérise SO(3,R) et PGL(2,C). Tout sera très élémentaire et le seul prérequis, c'est d'aimer ces groupes.

Représentations de Bowditch et primitives-stables

Résumé : Dans cet exposé, on va introduire les représentations de Bowditch du groupe libre de rang deux (introduites par Bowditch en 1998) ainsi que les représentations primitives stables (introduites par Minsky en 2010) à valeurs dans PSL(2,C). Récemment, Series d’une part, et Lee et Xu d’autre part, ont montré que ces deux classes de représentations sont équivalentes. Ce résultat peut-être généralisé (avec une preuve indépendante) aux représentations à valeurs dans un espace Gromov-hyperbolique quelconque. On donnera aussi un résultat équivalent en remplaçant le groupe libre de rang deux par le groupe fondamental de la sphere à 4 trous.

Un groupe G est dit simplement 2-transitif s’il admet une action sur un ensemble X de cardinal au moins 2 telle que, pour tous couples (x,x’) et (y,y’) d’éléments distincts de X, il existe un unique élément g de G tel que g(x,x’)=(y,y’). Par exemple, le groupe affine AGL(1,K) sur un corps K est simplement 2-transitif (pour son action naturelle sur K) et, de façon assez surprenante, la question suivante est longtemps restée ouverte : existe-t-il un groupe simplement 2-transitif qui n’est pas isomorphe à un certain AGL(1,K) ? Il y a quelques années, Rips, Segev et Tent ont construit le premier exemple d’un groupe simplement 2-transitif non affine. Dans mon exposé, j’expliquerai qu’on peut aller plus loin et construire divers groupes simplement 2-transitifs qui sont radicalement différents des groupes affines. Ces résultats sont issus de plusieurs travaux avec Marco Amelio, Vincent Guirardel et Katrin Tent.

Le graphe fin des courbes sur une surface a été introduit en 2019 par Bowden, Hansel et Webb pour étudier le groupe des homéomorphismes d'une surface. En 2021, Long, Margalit, Pham, Verben et Yao ont montré qu'en genre au moins 2, le groupe des automorphismes de ce graphe s'identifie au groupe des homéomorphismes de la surface. Avec Maxime Wolff, nous étendons ce résultat au cas du tore, et nous en donnons une version lisse.

Etant donné un sous-groupe du groupe des isométries d'un espace hyperbolique, sous des conditions très faibles, on peut considérer son ensemble limite: c'est l'adhérence dans le bord à l'infini de n'importe quel orbite. Les cas de SL(2,R) et SL(2,C) ont été particulièrement étudiés, avec notamment le fameux parallèle établi par Sullivan entre ensembles limites Klienéens (pour SL(2,C)) et la dynamique complexe. Dans ce cas, de nombreuses et magnifiques visualisations ont permis de construire nos intuitions
Je présenterai un travail en commun avec O. Rouillé pour visualiser des ensembles limites le cas de sous-groupes de SU(2,1) et comment les idées utilisées mènent à la généralisation d'un résultat de continuité sur les déformations de ces ensembles limites, dernier travail en commun avec T. Weismann.
Au programme: de la géométrie hyperbolique, des automates, des images, etc!

The fine curve graph is a hyperbolic graph on which the homeomorphism group of a surface acts (in an interesting way) and it allows to try and approach homeomorphism groups of surfaces with tools from geometric group theory. It is motivated by, and shares many properties with, the wildly successful curve graph machinery for mapping class groups - but it also shows new behaviour not encountered in the classical setting. 

In this talk, we will describe first results on the structure at infinity of the fine curve graph, and present some applications to homeomorphism groups. (No prior knowledge on curve graphs will be assumed!)

This is joint work with Jonathan Bowden and Richard Webb.

This will be a review of C^0 symplectic topology and some of the work I have done over the past few years as a member of IMJ-PRG.

Au début des années 2000, Labourie a entrepris l’étude des propriétés dynamiques de l’espace des k-surfaces, c’est-à-dire des surfaces complètes de courbure extrinsèque constante dans les 3-variétés de courbure négative, qu’il présente comme des analogues du flot géodésique en dimension plus grande. Dans cet exposé, en suivant les travaux récents de Calegari-Marques-Neves, nous étudions le comptage asymptotique de sous-groupes de surfaces selon l’aire des k-surfaces qui les représentent. Nous établissons une borne inférieure, et prouvons un résultat de rigidité lorsque le minimum est atteint. La preuve passe par la résolution de problèmes de Plateau feuilletés dans des variétés de courbure négative. C’est une collaboration avec Ben Lowe et Graham Smith.

The Auslander Conjecture is an analogue of Bieberbach’s theory of Euclidean crystallographic groups in the setting of affine geometry.  It predicts that a complete affine manifold (a manifold equipped with a complete torsion-free flat affine connection) which is compact must have virtually solvable fundamental group. The conjecture is known up to dimension six, but is known to fail if the compactness assumption is removed, even in low dimensions. We discuss some history of this conjecture, give some basic examples, and then survey some recent advances in the study of non-compact complete affine manifolds with non-solvable fundamental group.

Tools from the deformation theory of pseudo-Riemannian hyperbolic manifolds and also from higher Teichmuller theory will enter the picture.

We will explore the continuity property of the volume (i.e., surface area) function in the context of symplectic geometry. More precisely, we will discuss the lower semi-continuity of the surface area of Lagrangian submanifolds with respect to the gamma-norm, and connections with integral geometry, Floer theory and barcodes. The talk is based on joint work with Erman Cineli and Viktor Ginzburg.

Weight structures were introduced by Bondarko 20 years ago for the purposes of studying Voevodsky motives and relevant motivic conjectures. Since then the theory has developed extensively and found  its way to applications to the geometry of algebraic stacks.

Broadly speaking, volume conjectures relate the asymptotic growth of certain quantum invariants of topological objects (manifolds, links, graphs) to the volume of some hyperbolic structure on the object. I will give an overview of the topic and I will discuss some related results in hyperbolic geometry that are motivated by these sorts of questions, such as the Stoker conjecture or finding the maximum volume of hyperbolic polyhedra.

In this talk we will discuss some recent work on groups which connect self-similar and Higman-Thompson groups to big mapping class groups via "braiding". We will explain some results on the topological finiteness properties of the resulting groups, which are topological generalizations of the algebraic properties of being finitely generated and finitely presented. The talk will involve recent joint works with Xiaolei Wu (Fudan) and Matthew Zaremsky (Albany).

I will illustrate how methods from symplectic geometry can be used for the study of Anosov flows in dimension three.

Based on joint work with Kai Cieliebak (Augsburg), Oleg Lazarev (UMass Boston) y Thomas Massoni (Princeton).

Étant donné une variété symplectique, un invariant important est son groupe de difféotopie symplectique, qui généralise le groupe de difféotopie des surfaces, invariant classique très étudié. En dimension plus élevée, nous en savons assez peu sur ces groupes ; une question naturelle est de comprendre à quel point les propriétés structurelles des groupes classiques se généralisent (ou pas). Nous présenterons une sélection biaisée de résultats autour de cette question. En partie à base de travaux joints avec Paul Hacking et Ivan Smith.   

Étant données deux paires de difféomorphismes commutants de l’intervalle [0,1], peut-on les relier par un chemin continu de telles paires ? Cette vieille question, apparemment anecdotique, joue un rôle majeur dans la classification des feuilletages en surfaces des 3-variétés,  et n’a pas fini de  dévoiler la richesse des phénomènes qu’elle met en jeu. Dans cet exposé, j’aimerais notamment montrer à quel point ces phénomènes dépendent de la régularité dans laquelle on se place. En classe $C^1$, on n’a pas de modèle simple de ce à quoi une paire de difféos commutants ressemble, ce qui peut sembler ennuyeux, mais on a une grande flexibilité pour les déformer. En classe $C^\infty$ au contraire, on comprend très bien à quoi  ressemble une paire de difféomorphismes commutants, mais la situation est plus rigide. Quid de la régularité intermédiaire ?

Avec Floris van Doorn et Oliver Nash, j'ai récemment expliqué aux ordinateurs la démonstration du théorème de retournement de la sphère de Smale via l'intégration convexe de Gromov. Dans cet exposé, je rappellerai brièvement ce que signifie « expliquer des maths aux ordinateurs » et comment fonctionne l'intégration convexe, dans son implémentation par Theillière. Puis je décrirai une partie de ce que les humains ont gagné en expliquant cette démonstration aux ordinateurs.

Les distributions stable, instable et centrale des  dynamiques (partiellement) hyperboliques sont a priori seulement Hölder continues, et plusieurs travaux semblent suggérer que leur manque de régularité est l’obstacle principal à leur rigidité. Concernant les flots Anosov de contact, des travaux successifs de Ghys (en dimension trois) et de Benoist-Foulon-Labourie (en dimensions supérieures) ont par exemple montré que la présence de distributions invariantes lisses impose au flot d’être algébrique.

Dans cet exposé, je présenterai un résultat analogue de classification des difféomorphismes partiellement hyperboliques de dimension trois sans point errant, dont des distributions invariantes sont lisses et dont le champ de plans stable-instable est une distribution de contact. Dans cette situation, les distributions invariantes définissent une géométrie de Cartan, dont l’interaction avec la dynamique du difféomorphisme induit la rigidité observée.

On parlera de variétés de caractères de représentations de groupes fondamentaux de surfaces, de leur structure symplectique (ou de Poisson) et des deux natures de leurs composantes connexes. Je présenterai plusieurs problèmes ouverts à propos des représentations dans PSL(2,R) qui ne sont pas dans l'espace de Teichmüller. Dans le cas particulier où la surface que l'on considère est une sphère trouée, il existe des composantes compactes de représentations dans des groupes (non compacts !) hermitiens, par exemple PSL(2,R) mais pas seulement, qui illustrent très bien le comportement (pour l'instant en grande partie conjectural) des représentations non-Teichmüller.
 

On étudie le complété pour la métrique spectrale de l'espace des Lagrangiens d'une variété symplectique. On montre en particulier que les éléments de ce complété ont un support, et -dans un travail commun avec M.-C. Arnaud et V. Humilière- que dans le cas d'une dynamique dissipative ils fournissent un ensemble invariant qui généralise en dimension quelconque l'ensemble de Birkhoff pour les difféomorphismes dissipatifs de l'anneau.

Is Hydrodynamics capable of universal computation? This question was formulated by Moore in 1991 and has been recently revisited by Tao in relation to the global regularity problem for the Euler and Navier-Stokes equations. In this introductory talk, we will present what it means for a dynamical system to be "Turing-complete". This property implies that the system has undecidable trajectories, a kind of complexity that is different from the classical sensitivity to initial conditions. We will sketch the construction of conservative systems with undecidable properties, with an eye toward recent results in hydrodynamics obtained in joint works with E. Miranda, D. Peralta-Salas, and F. Presas.

We construct analytic symplectomorphisms of the cylinder or the sphere with zero or exactly two periodic points and which are not conjugated to a rotation. In the case of the cylinder, we show that these symplectomorphisms can be chosen ergodic or to the opposite with local emergence of maximal order.  In particular, this disproves a conjecture of Birkhoff (1941) and solves a problem of Herman (1998).

The study of representations of fundamental groups of surfaces into Lie groups is captured by the character variety. One main tool to study character varieties are Higgs bundles, holomorphic objects, but they fail to see some important symmetry, the mapping class group action. I will present an alternative approach which replaces Higgs bundles by higher complex structures, given in terms of commuting nilpotent matrices. Joint with Georgios Kydonakis, Alex Nolte and Charlie Reid.

The free $\Z$-module generated by the nontrivial free homotopy classes of loops on an oriented surface carries a Lie-bialgebra structure, introduced by Goldman and Turaev in the 80s. One way to obtain from a closed loop a dynamical system on the surface is by "stirring" along that loop. In my talk, I will discuss some consequences of Turaev's cobracket construction on the forced dynamics such as bounds on the growth of periodic orbits and topological entropy within the forcing theory of Le Calvez-Tal. This is motivated by some questions on the robustness of the dynamics of the Hamiltonian eggbeaters of Polterovich-Shelukhin. Based on joint work with A. Chor.

Sur une surface fermée à courbure négative, Margulis a obtenu un équivalent du nombre de géodésiques fermées primitives de longueurs bornées, quand la borne tend vers l’infini. Une question naturelle est alors de savoir si on peut obtenir un résultat similaire pour des géodésiques fermées qui sont sujettes à des contraintes topologiques ou géométriques. Après un court état de l’art sur le problème, je présenterai des résultats récents qui concernent des contraintes d’intersection géométriques. Plus précisément, je discuterai de la croissance asymptotique des géodésiques fermées pour lesquelles certains nombres d’intersection (avec une famille de géodésiques fermées simples) sont prescrits.

The free $\Z$-module generated by the nontrivial free homotopy classes of loops on an oriented surface carries a Lie-bialgebra structure, introduced by Goldman and Turaev in the 80s. One way to obtain from a closed loop a dynamical system on the surface is by "stirring" along that loop. In my talk, I will discuss some consequences of Turaev's cobracket construction on the forced dynamics such as bounds on the growth of periodic orbits and topological entropy within the forcing theory of Le Calvez-Tal. This is motivated by some questions on the robustness of the dynamics of the Hamiltonian eggbeaters of Polterovich-Shelukhin. Based on joint work with A. Chor.

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles de l'espace projectif. Même si ce groupe vient de la géométrie algébrique, des outils de théorie géométrique des groupes ont été très puissants pour étudier ce groupe. Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Christian Urech, nous construirons une action naturelle du groupe de Cremona sur un complexe cubique CAT(0). Nous expliquerons ensuite quels types de résultat nous obtenons grâce à cette action.

Hyperbolic once-punctured torus bundles are a special class of 3-manifolds that are generally very well understood. Yet, there are some interesting open questions regarding the character varieties of representations of their fundamental groups into SL(2,C) and PSL(2,C), especially concerning their topology  and how much topological information can be obtained from about the bundles. This talk is about work with Youheng Yao (arXiv:2206.14954) that introduces  some new methods that apply more generally and yields new results on these character varieties in particular.

Les algèbres skein des surfaces sont des algèbres non-commutatives qui décrivent la combinatoire des entrelacs dans une surface épaissie modulo des relations locales (relations "skein"). Elles jouent un rôle central dans les TQFTs de Witten-Reshetikhin-Turaev.

Dans cet exposé, on expliquera comment définir des plongements naturels de ces algèbres vers des algèbres non-commutatives particulièrement simples (tores quantiques), et comment utiliser ces plongements pour décrire la théorie des représentations des algèbres skein en une racine de l'unité.

Various invariants have been computed for Hilbert schemes of surfaces, however our knowledge about Hilbert schemes (of points) of higher dimensional schemes is quite limited. In particular, Hilbert schemes of n-dimensional affine spaces have very complicated geometry for high n. In this talk we will discuss the homotopy type of the Hilbert scheme of infinite dimensional affine space, which turns out to be surprisingly simple. We will also mention the motivation for this result, coming from algebraic K-theory. Based on joint work with Marc Hoyois, Joachim Jelisiejew, Denis Nardin, and Burt Totaro.

Flows of frames over negatively curved Riemannian manifolds (M, g) are one of the oldest examples of partially hyperbolic dynamics. It is well known that frame flows of hyperbolic manifolds are ergodic, while Kahler manifolds never have an ergodic frame flow; Brin conjectured in the 70's that all manifolds with sectional curvature between -1 and -0.25 (i.e. curvature is 0.25-pinched) have ergodic frame flows. In this talk I will explain recent progress on this conjecture: we show that in dimensions 4k+2 the frame flow is ergodic if (M, g) is ~0.27 pinched, and in dimensions 4k if it is ~0.55 pinched. Our new method uses techniques in hyperbolic dynamics (transitivity group, Parry's representation), topology of structure groups of spheres, and Fourier analysis in the vertical fibre of the unit sphere bundle (based on Pestov identity). This is joint work with Lefeuvre, Moroianu, and Semmelmann.

En 2012, Kahn-Markovic prouvent par des outils dynamiques que tous réseaux cocompacts de SL(2,C) contient un sous-groupe de surface, c'est-à-dire isomorphe au groupe fondamental d'une surface fermée de genre au moins 2. En 2018, Kahn-Labourie-Mozes étendent ce résultat à tous les groupes de Lie simple complexes. Dans cet exposé nous construisons des groupes de surfaces dans des réseaux de groupes de Lie réels, cocompacts ou non. La construction est arithmétique et produit des exemples de sous-groupes "fins", c'est-à-dire d'indice infini mais Zariski-dense dans le réseau. Nous utilisons aussi la théorie de la composante de Hitchin, composante connexe particulière de la variété des représentations.

Almost exactly five years ago, I gave a colloquium talk here in Paris on the discovery with Christian Blohmann and Marco Cezar Fernandes of a groupoid symmetry closely mirroring the Poisson brackets of the initial value constraints for the Einstein evolution equations in general relativity.

At that time, we introduced a notion of "hamiltonian Lie algebroid" which we intended to use to make a more concrete connection between the groupoid and the constraints.  Unfortunately, we still have not established that connection, but the theory of hamiltonian Lie algebroids has taken on a life of its own.

In the symplectic case, it led to a problem in symplectic topology which has now been solved.

In this talk, I will focus on the case of hamiltonian Lie algebroids over Poisson manifolds, in which ongoing work with Blohmann and Stefano Ronchi has led to new insights relation to suggestions made by Alejandro Cabrera about the relation between Lie algebroids, connections, and Poisson structures.

Le nombre de rotation d'un homéomorphisme du cercle mène à plusieurs généralisations dans le cas des homéomorphismes de surfaces compactes. Ces généralisations visent à décrire les vitesses et les directions des orbites de l'action de ces homéomorphismes sur la surface. Parmi les généralisations existantes, on a :

- une notion d'ensemble de rotation pour les homéomorphismes du tore ou de l'anneau isotopes à l'identité.

- une notion d'ensemble de rotation homologique pour les homéomorphismes de surfaces de genre supérieur isotopes à l'identité.

Néanmoins, ce dernier ensemble de rotation ne détecte pas pas les orbites qui tournent autour de courbes fermées d'homologie triviale, d'où l'idée de définir un ensemble de rotation homotopique pour les surfaces de genre supérieur.

Dans cet exposé, après un passage en revue des ensembles de rotation existants et de quelques-unes de leur propriété, je présenterai des résultats d'une collaboration avec Pierre-Antoine Guihéneuf où l'on définit un tel ensemble de rotation homotopique et où l'on démontre des propriétés de cet ensemble de rotation, notamment liées à l'existence d'orbites périodiques.

Iterated monodromy groups are self-similar groups associated to
partial self-coverings. In my talk I will give an introduction to
iterated monodromy groups of post-singularly finite entire
transcendental functions. These groups act self-similarly on a regular
rooted tree, but in contrast to IMGs of rational functions, every
vertex of the tree has countably infinite degree.

I will also discuss the similarities and differences of IMGs of entire
transcendental functions and of polynomials, in particular in the
direction of amenability.

C'est un travaill en commun avec Damian Osajda. Soit X un complexe triangulaire CAT(0). Nous démontrons que si G agit sur X avec les stabilisateurs uniformément finis, alors G satisfait l'alternative de Tits. Je vais indiquer la preuve dans le cas où tous les triangles de X sont équilatéraux et G agit librement.

Un méandre est une configuration topologique de paire de courbes fermées simples sur la sphère (historiquement plutôt dans le plan), s'intersectant transversalement. Ils apparaissent en combinatoire, physique théorique et biologie computationnelle, et leur énumération est toujours un problème ouvert. On peut définir de la même façon des méandres en genre supérieur en considérant des paires de courbes fermées simples sur des surfaces de plus grand genre. Dans cet exposé on s'intéresse au comptage de ces méandres dans certains régimes combinatoires, et leur asymptotique en grand genre. Tous les résultats découlent des dernières avancées dans le comptage des surfaces à petits carreaux et l'évaluation des volumes de Masur-Veech, car on verra que les méandres peuvent s'interpréter comme des surfaces à petits carreaux particulières.  Cet exposé fait suite à un exposé d'Anton Zorich sur les volumes de Masur-Veech des espaces de modules de différentielles quadratiques, cependant tous les résultats nécessaires seront rappelés. (avec V. Delecroix, P. Zograf et A. Zorich)
 

We discuss the problem of constructing quasi-morphisms on the group of diffeomorphisms of a surface that are isotopic to the identity, thereby resolving a problem of Burago-Ivanov-Polterovich from 2006. This is achieved by considering a new kind of curve graph, in analogy to the classical curve graph first studied by Harvey in the 70’s, on which the full diffeomorphism group naturally act by isometries.  (joint with S. Hensel and R. Webb)

Il s'agit d'un travail en commun avec Gabriel Rivière. Sur une surface à courbure négative, on montre que les séries de Poincaré comptant les arcs géodésiques orthogonaux à certaines courbes admettent un prolongement méromorphe au plan complexe. Quand ces courbes sont des géodésiques homologiquement triviales, nous montrons l'absence de poles et la rationalité de la valeur en 0 en l'interprétant comme un nombre d'enlacement pour des noeuds Legendriens.

On parlera de certaines généralisations naturelles de la distance de Thurston pour des surfaces avec bord, in particulier de la métrique des arcs. On construira une grande famille de géodésiques pour l’espace de Teichmüller de surfaces avec bord par rapport à la métrique des arcs, que l’on appelle "lignes d’étirement généralisées". On montrera que l’espace de Teichmüller avec la métrique des arcs est un espace métrique géodésique et Finsler. Notre résultat est une généralisation d’un résultat de Thurston pour des surfaces fermées et pointées. Le travail est en collaboration avec D. Alessandrini.

Je présenterai divers éléments à la question posée dans le titre.

Les noyaux de Szegö (ou de Bergman) encodent des espaces de sections holomorphes sur des variétés de Kähler. Quand la courbure du fibré grandit, l'étude du comportement asymptotique de ces noyaux relève de l'analyse semiclassique, qui étudie les équations différentielles dont les solutions oscillent très rapidement. Réciproquement, l'étude de ces noyaux permet, outre des applications directes en géométrie complexe, de mieux comprendre certains problèmes de physique mathématique.

Dans cet exposé accessible à un large public, je discuterai des résultats connus (en particulier, certaines avancées récentes) sur le noyau de Szegö, puis je décrirai certaines applications à la physique des spins.

Does every Jordan curve in the Euclidian plane contain 4 points that form the corners of a square? Starting from this old metric problem posed by Toeplitz a hundred years ago, we discuss problems in low-dimensional topology. The talk will feature: knots in S^3 and S^2xS^1, disks and Möbius bands in B^4 and B^3xS^1, and a recent translation due to Hugelmeyer recasting Toeplitz' question as a problem about knots and Möbius bands.

Based on work in progress with Marco Golla.

On montre que sur une variété close de dimension trois, tout champ de Reeb non dégénéré est porté par un livre ouvert brisé. On en déduit que :
- tout champ de Reeb (fortement) non dégénéré a 2 ou une infinité d'orbites périodiques ;
- sur une variété non graphée (par exemple hyperbolique) tout champ de Reeb (fortement) non dégénéré a de l'entropie topologique.

A closed Riemannian manifold is called Zoll when its unit-speed geodesics are all periodic with the same minimal period. This class of manifolds has been thoroughly studied since the seminal work of Zoll, Bott, Samelson, Berger, and many other authors. It is conjectured that, on certain closed manifolds, a Riemannian metric is Zoll if and only if its unit-speed periodic geodesics all have the same minimal period.

In this talk, I will first discuss the proof of this conjecture for the 2-sphere, which builds on the work of Lusternik and Schnirelmann. I will then present a stronger version of this statement valid for general Reeb flows on closed contact 3-manifolds: the closed orbits of any such Reeb flow admit a common period if and only if every orbit of the flow is closed. Time permitting, I will also summarize some related results for Reeb flows on higher dimensional contact spheres and for geodesic flows on simply connected compact rank-one symmetric spaces.

The talk is based on joint works with Suhr, Cristofaro Gardiner, and Ginzburg- Gürel.

We discuss a law of large numbers for the volumes of random 3-manifolds. Such objects, introduced by Dunfield and Thurston, come from the observation that certain families of 3-manifolds, such as Heegaard splittings of a fixed genus, are naturally parametrized by the elements of the mapping class group of a closed orientable surface. We can sample a random Heegaard splitting simply by picking at random the gluing map that defines it. In order to do this systematically, we make a random walk on the mapping class group of the Heegaard surface. We will see that the (simplicial) volumes of the associated 3-manifolds grow linearly in the step of the walk (with an exact asymptotic).

L'inégalité de Brunn-Minkovski dans l'espace euclidien se généralise au cas des variété riemanniennes avec courbure de Ricci bornée inférieurement. Cette inégalité peut en effet être utilisée comme définition de "Ricci bornée inférieurement" pour des espaces métriques plus générales. Une classe d'espaces qui ne satisfait pas cette définition plus générale est celle des variétés sous-Riemanniennes, qui peuvent être vues comme des limites de variétés Riemanniennes avec courbure de Ricci qui explose à -\infty.

Dans cet exposé je discuterai la validité d'une inégalité de type Brunn-Minkovski dans ce contexte. [travail en collaboration avec Luca Rizzi]

Some years ago, Bruggeman, Lewis and Zagier provided a cohomological interpretation of Maass wave forms for hyperbolic surfaces of finite area, in which each construction and isomorphism is explicit. About the same time, I developed discretizations for geodesic flows on a huge class of hyperbolic surfaces such that the 1-eigenfunctions of the associated transfer operators serve as building blocks for the cocycle classes in these cohomological interpretations. By combining both results we find an explicit and constructive relation between the geodesic flow and Maass cusp forms for non-compact hyperbolic surfaces of finite area.

Whereas the construction of the discretization of the transfer operators was valid also for hyperbolic surfaces of infinite area, the question on suitable cohomological interpretations of Laplace eigenfunctions in infinite area situations remained open. Only recently Bruggeman and I provided a generalization of the cohomology to (a class of) hyperbolic surfaces of infinite area that serves in the same way as in the finite area case as a mediator between Laplace eigenfunctions and eigenfunctions of transfer operators.

I will survey these new results with an emphasis on insights, heuristics and their relation to dynamics.

In this talk, I will introduce series identities on holomorphic families of Cantor sets which arise naturally in hyperbolic geometry and holomorphic dynamics. We will see that these identities can be used to study the topology of character varieties, the Hausdorff dimension function on parameter spaces, asymptotic orbit counting and equidistribution of holonomy. A special case of these identities is Basmajian’s identity for hyperbolic manifolds.

The skein algebra of a surface is built from knots in a thickening of the surface. The skein algebra is a quantization of the character variety and Teichmuller spaces and has close relations to famous quantum invariants such as the Jones polynomial. When the surface is a bigon, the skein algebra is the quantized coordinate algebra of the group SL_2, for which a positive basis was constructed by Kashiwara. Fock, Gontcharov, and D. Thurston conjecture that the skein algebra of surfaces without boundary has a positive basis. We will discuss some results related to the positivity conjecture. Joint work with F. Costantino, D. Thurson, and T. Yu.

On décrira un travail commun avec D. Le Peutrec et Francis Nier dans lequel on montre que la décroissance exponentielle des valeurs propres du Laplacien de Witten associé à une fonction $f$ est contrôlée par la longueur des barres de la fonction $f$, ce qui donne lieu a une stabilité surprenante de ces exposants.