| Résume | (travail en commun avec F. Guéritaud et E. Piguet-Nakazawa)
Le complémentaire d’un nœud dans la sphère de dimension 3 est une 3-variété ouverte, dont le « bord » est une pointe torique. Il est parfois intéressant de décrire ce complémentaire de nœud par une triangulation idéale, c’est-à-dire un recollement de tétraèdres dont on a retiré les sommets.
En particulier, dans le cas où le nœud est hyperbolique (ce qui signifie que son complémentaire admet une unique métrique hyperbolique complète de volume fini), on dit qu’une triangulation du complémentaire est géométrique quand elle correspond à une décomposition dans l’espace hyperbolique du complémentaire en tétraèdres de volumes strictement positifs. Les triangulations géométriques sont naturellement utiles pour calculer des invariants topologiques et géométriques comme le volume hyperbolique.
Dans cet exposé, je vous présenterai une technique due à Thurston de construction de triangulation idéale d’un complémentaire de nœud, que nous avons appliquée à la famille infinie des nœuds twist, qui sont la plus simple famille de nœuds hyperboliques.
Puis je présenterai comment nous avons prouvé que ces triangulations des complémentaires des nœuds twist sont géométriques, en étudiant la fonctionnelle volume sur l’espace des structures d’angles à la Casson-Rivin. Cela nous a permis de démontrer ensuite une conjecture du volume en topologie quantique, mais ce point ne sera pas détaillé dans l’exposé.
Enfin, si le temps le permet, je présenterai une autre façon d’obtenir les mêmes triangulations, via une triangulation inhabituelle du complémentaire de l’entrelacs de Whitehead et un principe de triangulation d’un remplissage de Dehn dû à Guéritaud et Schleimer. |
