| Résume | Étant donné un groupe G agissant sur un espace X, le taux de croissance exponentiel mesure la "taille" des orbites de G. Si H est un sous-groupe de G, son taux de croissance est majoré par celui de G. Dans ce travail nous nous sommes penchés sur la question suivante : que se passe-t-il lorsque H et G ont le même taux de croissance exponentielle ?
Ce problème à une histoire à la fois combinatoire et géométrique. Du point de vue combinatoire, Grigorchuck et Cohen on montré dans les années 80 qu'un groupe Q = F/N (vu comme le quotient d'un groupe libre) est moyennable si et seulement si N et F ont le même taux de croissance exponentielle (relativement à la métrique des mots de F). A la même époque Brooks a donné une interprétation géométrique du critère de moyennabilité de Kesten en utilisant le bas du spectre de l'opérateur de Laplace. Il obtient de cette manière un analogue du résultat de Grigorchuck et Cohen pour le groupe des automorphismes du revêtement de certaines variétés hyperboliques compactes. Ces travaux sont à l'origine des nombreux développements en géométrie, dynamique et théorie de groupes.
Dans cet exposé on s'intéressera à un groupe G agissant sur un espace hyperbolique au sens de Gromov. On verra que lorsque cette action est raisonnable alors G et H ont le même taux de croissance si et seulement si H est co-moyennable dans G. On présentera deux approches du résultat, l'une reposant sur des opérateurs de transfert d'un décalage de type fini associé au flot géodésique, l'autre sur une version tordue des mesures de Patterson-Sullivan. |
