Séminaires : Séminaire Groupes, Représentations et Géométrie

L'étude des bases canoniques et canoniques duales des groupes quantiques fut l'une des principales motivations pour l'introduction des algèbres amassées par Fomin et Zelevinsky au début des années 2000. Leurs observations les avaient amené à formuler la conjecture que les monômes d'amas des groupes quantiques faisaient partie de leurs bases canoniques duales. Cette conjecture a été récemment prouvée par Kang, Kashiwara, Kim et Oh en utilisant certaines catégorifications des groupes quantiques compatibles avec leurs structures amassées. L'outil clé est la construction de $R$-matrices non triviales dans certaines catégories de modules sur les algèbres de Hecke carquois (ou algèbres KLR) introduites par Khovanov-Lauda et Rouquier en 2010. Nous expliquerons comment les résultats de Kang-Kashiwara-Kim-Oh donnent lieu à de surprenantes compatibilités entre certains ordres partiels de natures à priori différentes. Nous montrerons que ces compatibilités impliquent des relations combinatoires entre certaines paramétrisations des représentations irréductibles des algèbres de Hecke carquois et certaines graduations des monômes d'amas appelés $g$-vecteurs. Nous relierons également ces résultats à un travail récent de Kashiwara-Kim (2018).