| Résume | Le groupe quantique Uq(sl2) permet la construction d'invariants topologiques à partir de sa catégorie de modules. Via ces objets il est possible de définir les polynômes de Jones colorés, les TQFTs non semi-simples, ou encore de retrouver (pour une valeur générique du paramètre quantique q) les premières représentations fidèles de dimension finie du groupe des tresses, construites d'abord homologiquement : les représentations de Bigelow -- Krammer — Lawrence (cela est une conséquence du théorème de Kohno). Ce dernier résultat est une avancée importante vers l’étude du contenu topologique de tous ces invariants dits ``quantiques" dont la construction repose strictement sur un formalisme algébrique.
Dans cet exposé, nous définirons une version entière de Uq(sl2), ainsi que des objets de sa catégorie de modules : les modules de Verma, et nous montrerons comment obtenir une action des groupes de tresses sur leurs produits tensoriels. Ensuite, nous construirons en parallèle une action de Uq(sl2) (de nature homologique) et du groupe des tresses (par homéomorphismes) sur des modules d'homologie localement finie, relative et a coefficients dans un système local abélien sur des espaces de configurations de points dans le disque épointé. Nous expliquerons comment cette représentation est isomorphe au produit tensoriel de modules de Verma, via des bases bien choisies, et que cet isomorphisme respecte la structure entière, i.e. de module sur un anneau de polynômes de Laurent. Ce résultat étend le théorème de Kohno à des représentations plus grandes, en préservant la structure algébrique sur les polynômes de Laurent, et prescrit une interprétation homologique de l'action de Uq(sl2) sur les modules de Verma.
Si le temps le permet, nous montrerons comment appliquer ce résultat aux nœuds vus comme des clôtures de tresses afin d'aboutir à une formule des traces (homologiques) pour les polynômes de Jones colorés, qui s'apparente à une somme pondérée de nombres de Lefschetz abélianisés. |
