Résume | Dans la première partie de cet exposé, je rappellerai la construction de certaines bases particulières, dont les éléments sont naturellement indexés par des paires de tableaux, dans les puissances tensorielles de la représentation fondamentale de \(GL_n(\mathbb{C})\). Ces bases sont obtenues via le décomposition en sous-espaces propres de ces espaces vectoriels, sous l'action de certaines algèbres commutatives (les algèbres de Gefland-Zeitlin).
Dans la seconde partie, j'introduirai les algèbres de Bethe : ce sont des familles d'algèbres commutatives qui agissent sur ces espaces vectoriels, paramétrées par certains espaces de configuration, et qui se spéécialisent en les algèbres de Gelfand-Zeitlin en prenant une limite appropriée. J'expliquerai ensuite un travail en commun avec Iain Gordon et Noah White où on montre que la monodromie des espaces propres associés à ces algèbres peut être décrite explicitement via l'algorithme de Robinson-Schensted-Knuth. Un théorème remarquable de Mukhin-Tarasov-Varchenko stipule que l'image de l'algèbre de Bethe de \(GL_n(\mathbb{C})\) agissant sur une certaine représentation est isomorphe au centre de l'algèbre de Cherednik rationnelle. Via cet isomorphisme, on utilise notre résultat pour démontrer une conjecture de Bonnafé-Rouquier, identifiant en type A les cellules de Calogero-Moser qu'ils ont introduites, avec les cellules de Kazdhan--Lusztig. |