ATTENTION : Cette Séance est reportée à 2020 (GREVE).
Travail en commun avec Duco van Straten.
La théorie KAM est habituellement considérée comme une branche plutôt technique de l’analyse réservée aux initiés. Elle permet de transformer des considérations formelles en des considérations analytiques, ce qui la rapproche des problèmes classiques d’analytisation ou d’algébrisation. La particularité des techniques développées en théorie KAM consiste à ne pas considérer un espace fonctionnel fixe mais dépendant de paramètres en général ou bien une suite d’espace ou bien des espaces dépendant d’un paramètre réel.
Nous adoptons un point de vue grothendieckien et essayons de conceptualiser cette approche dans un cadre catégoriel en accordant davantage d’importance aux morphismes de la catégorie qu’aux objets. Un système d'espace de Banach est alors vu comme un foncteur d’une petite catégorie dans la catégorie des espaces de Banach. L’étude de cette catégorie de foncteurs dévoile une grande richesse de concepts. Ce point de vue catégoriel, que nous avons appelé l’analyse fonctorielle, permet d’obtenir des résultats de nature très générale sur le calcul fonctionnel, les théorèmes de points fixes, les formes normales. Il est un prolongement naturel de l’analyse fonctionnelle dans les espaces de Banach. L’analyse fonctorielle permet à la fois de regrouper et de clarifier des résultats épars de formes normales: lemme de Morse, déformations verselles, Théorème de Poincaré -siegel sur les champs de vecteur, théorème des tores invariants de Kolmogorov, conjecture des tores invariants de Herman, mouvements quasi-périodique sur des tores symplectiques etc.
Ref
Garay an Abstraft KAM Theorem 2014 Moscow Math Journal
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