Séminaires : Séminaire sur les Singularités

Equipe(s) Responsable(s)SalleAdresse
Géométrie et Dynamique
Hussein MOURTADA, Matteo RUGGIERO, Bernard TEISSIER
salle 2015 Sophie Germain

Archive avant 2015

Hébergé par le projet Géométrie et Dynamique de l’IMJ-PRG

 


 

Séances à suivre

Orateur(s)Titre Date DébutSalleAdresse
+ Mauricio Garay La théorie KAM vue comme l’étude d’une catégorie de foncteurs 09/12/2019 10:30 salle 2015 Sophie Germain
Travail en commun avec Duco van Straten.
 
La théorie KAM est habituellement considérée comme une branche plutôt technique de l’analyse réservée aux initiés. Elle permet de transformer des considérations formelles en des considérations analytiques, ce qui la rapproche des problèmes classiques d’analytisation ou d’algébrisation. La particularité des techniques développées en théorie KAM  consiste à ne pas considérer un espace fonctionnel fixe mais dépendant de paramètres en général ou bien une suite d’espace ou bien des espaces dépendant d’un paramètre réel.
 
 Nous adoptons un point de vue grothendieckien et essayons de conceptualiser cette approche dans un cadre catégoriel en accordant davantage d’importance aux morphismes de la catégorie qu’aux objets. Un système d'espace de Banach est alors vu comme un foncteur d’une petite catégorie dans la catégorie des espaces de Banach. L’étude de cette catégorie de foncteurs dévoile une grande richesse de concepts. Ce point de vue catégoriel, que nous  avons appelé l’analyse fonctorielle, permet d’obtenir des résultats de nature très générale sur  le calcul fonctionnel,   les théorèmes de points fixes, les formes normales. Il est un prolongement naturel de l’analyse fonctionnelle dans les espaces de Banach. L’analyse fonctorielle permet à la fois de regrouper et de clarifier des résultats épars de formes normales: lemme de Morse, déformations verselles, Théorème de Poincaré -siegel sur les champs de vecteur, théorème des tores invariants de Kolmogorov, conjecture des tores invariants de Herman, mouvements quasi-périodique sur des tores symplectiques etc.
 
Ref
Garay an Abstraft KAM Theorem 2014 Moscow Math Journal
 
+ Séances antérieures

Séances antérieures

Orateur(s)Titre Date DébutSalleAdresse
+ Andrei Bengus-Lasnier Polynômes Clés et Paires Minimales 30/09/2019 10:30

Afin d'étudier les extensions d'une valuation $\nu$ sur $K$ à $K(X)$ (ou de manière
équivalente à $K[X]$), plusieurs stratégies sont apparues. Historiquement, MacLane
inventa les polynômes clés afin d'exhiber toutes les extensions de $\nu$, quand
celle-ci est discrète de rang $1$. Vaquié prolongea ses résultats pour une
valuation $\nu$ quelconque, en utilisant le concept de valuation limite. Sous
l'impulsion de Mark Spivakovsky d'autres approches ont émergé, utilisant des
polynômes clés dits abstraits. Certaines propriétés de ces objets furent établies
par analogie avec les travaux sur les paires minimales. L'idée derrière ces paires
est d'étudier des valuations résiduellement transcendantes sur $\overline{K}[X]$,
où $\overline{K}$ est une clôture algébrique de $K$, et de travailler
en priorité sur $\overline{K}$.

\vspace{0.8cm}

Mon exposé concernera le lien entre les paires minimales et les polynômes clés
abstraits (ou de MacLane). Je passerai en revue la démonstration d'un théorème de
comparaison: en restreignant à $K[X]$ une valuation définie par une paire minimale,
on retombe sur une valuation tronquée par un polynôme clé abstrait.

\medskip

En utilisant ce résultat je démontre certaines propriétés simples sur $K$ en les
descendant depuis $\overline{K}$.

+ Antoni Rangachev Generalized Smoothability 23/09/2019 10:30
In this talk I will introduce a class of singularities that generalizes the class of smoothable singularities: these are all singularities that admit deformations to deficienct conormal (dc) singularities.
I will discuss how this new class arises from problems in differential equisingularity and how it relates to the local volume of a line bundle. Using  Thom's transversality and Lagrangian geometry I will show that under certain hypothesis codimension 2, codimension 3, almost complete intersections, and determintal singularities admit deformations to dc singularities.
 
+ Patrick Popescu-Pampu Une étude tropicale et logarithmique des fibres de Milnor 11/06/2019 16:00
Je présenterai un travail fait en collaboration avec Maria Angelica Cueto et Dmitry Stepanov, expliquant comment combiner des outils tropicaux et logarithmiques afin de comprendre la structure des fibres de Milnor des singularités complexes.

+ Anne Pichon Géométrie interne des singularités de surfaces complexes et formule de Laplacien (Exceptionnellement salle 6033) 28/05/2019 14:00
Étant donné un germe analytique complexe (X,0) dans (C^n,0), la métrique Hermitienne standard de C^n induit naturellement une métrique par longueurs d’arcs sur (X,0), appelée métrique interne. La structure métrique interne d'un germe de singularité isolée de surface (X,0) s’étudie via une famille d'invariants numériques appelés taux internes.
Je vais expliquer comment ces taux internes peuvent se calculer à partir de la donn\’ee de la topologie de (X,0), avec la configuration d'une section hyperplane générique et de la courbe polaire d'une projection plane générique de $(X,0)$ à l’aide d'une formule de Laplacien sur l'entrelacs non archimédien de (X,0). Puis je vais donner quelques conséquences de cette formule, en particulier une approche de la question de Lê Dung Tràng sur l’existence d’une dualité entre les algorithmes de résolution des singularités de surface par une suite d'éclatements normalisés d’une part, et par une suite de modifications de Nash normalisées d’autre part.
Il s’agit d’un travail en commun avec André Belotto et Lorenzo Fantini.


+ Ana J. Reguera Composantes irréductibles de l'espace des arcs en caractéristique positive 21/05/2019 16:00
En 1968, J. Nash a commencé l'étude de l'espace d'arcs $X_\infty$ d'une variété algébrique singulière $X$ définie sur un corps $k$ de caractéristique zéro, dans le but de comprendre la structure des diverses résolutions des singularités de $X$. Son travail a été fait peu après la preuve de Hironaka de la Résolution des Singularités en caractéristique zéro.
Il a montré, en utilisant la Résolution des Singularités, que l'espace
des arcs centrés dans Sing $X$ (noté $X_\infty^Sing$) possède un nombre fini de composantes irréductibles.\\

Ce programme de Nash s'étend aux corps de base parfaits $k$ de caractéristique $p >0$. Mais la Résolution des Singularités est toujours un problème ouvert lorsque $\textcar k=p>0$ et $\dim X \geq 4$. Dans cet exposé, nous proposerons plusieurs questions qui auraient une réponse affirmative s'il existait une résolution des singularités:
\vskip3mm

Q1: $X_\infty^Sing$ a-t-il un nombre fini de composantes irréductibles?

Q2: Étant donnée une variété $X$, existe-il un morphisme propre et birationnel $Y \rightarrow X$ tel que $Y_\infty$ soit irréductible? \newline
Nous donnerons des réponses partielles et nous expliquerons le statut de ces problèmes.
+ Octave Curmi Topologie des singularités non-isolées de surfaces complexes 14/05/2019 14:00
Les fibres de Milnor jouent un rôle crucial dans l’étude de la topologie d’une singularité de surface. Elles correspondent aux différents lissages possibles de cette singularité. Une description de cette fibre est connue dans certains cas particuliers, mais pas en général, même pour des singularités isolées.
D’un autre côté, l’étude de son bord est un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’années. Dans différents contextes, il est prouvé que ce bord est une variété graphée. (Mumford, 1961, pour les singularités isolées, Michel-Pichon, 2003, 2014, pour un lissage d’une surface réduite d’espace total lisse, Némethi-Szilard, 2012, sous les mêmes hypothèses, Bobadilla-Menegon Neto, 2014, pour une surface non réduite et un espace total avec singularité isolée).
J’expliquerai comment la preuve constructive proposée par Némethi et Szilard peut être adaptée pour prouver, constructivement, le même résultat pour un lissage de surface réduite d’espace total quelconque. Ceci permet d’espérer l’obtention, à terme, d’une caractérisation des variétés lisses bordant une fibre de Milnor de lissage de surface complexe. De plus, je propose un algorithme simple pour le calcul du bord d’une fibre de Milnor, dans le cas d’une surface définie par une fonction générique sur un germe d’espace torique.


+ Anne Frühbis-Krüger Two algorithms in Algebraic Geometry based on ideas from Hironaka's resolution of singularities 19/03/2019 16:00
In his famous proof of the existence of a resolution of singularities in characteristic zero (1964) Hironaka also introduced several constructive/algorithmic ideas, most prominently the notion of standard bases which have become important tools in computational algebraic geometry nowadays. Other constructive aspects, however, seemed to be without further practical applications.
In this talk I shall explain solutions to two tasks of very different flavour in computational algebraic geometry, which profit each in their own way from Hironaka's work: A massively parallel algorithm to decide non-singularity of a variety arises from the termination criterion of desingularization and makes use of descent in ambient dimension by means of hypersurfaces of maximal contact. On the other hand, when counting subrings (in the sense of order zeta-functions) p-adic integrals arise for which the domain of integration seems rather inaccessible at first glance. However, a suitable desingularization transforms the task into a number of easier problems each of which can be tackled by standard methods.
+ Hema Srinivasan, A gluing operation on Semigroup Rings 12/03/2019 16:00
First we will discuss the numerical semigroup rings, which are subsemigroups of the natural numbers. In this case, these rings are also the homogeneous coordinate rings of the monomial curves. Given two semigroups A and B, we will construct the minimal homogenous resolution of the semigroup C obtained by gluing A and B. From this construction, we can read off the formulae for the invariants of C in terms of A and B. There is not yet a complete generalization of gluing in higher dimensions. We will give some partial results in higher dimensions as well as some instances where a gluing is impossible.


+ Dale Cutkosky Generating sequence of valuations in finite extensions 26/02/2019 16:00
Suppose that $(K,\nu)$ is a valued field and $(L,\omega)$ is a finite extension, where $L=K[z]/(f)$. Further suppose that $A$ is a local domain which is dominated by $\nu$ and the unitary polynomial $f(z)$ is in $A[z]$. We consider the problem of computing a generating sequence for $\omega$ in $A[z]/(f)$ and computing the structure of the associated graded ring of $A[z]/(f)$ along $\omega$ as an extension of the associated graded ring of $A$ along $\nu$.

The problem of constructing generating sequences in a Noetherian local domain $A$ which is dominated by a valuation is extremely difficult, and little is known about this problem in general. It is well understood in the case that $A$ has dimension one, and for regular local rings of dimension two. It is known for certain valuations dominating two dimensional quotient singularities and for certain valuations dominating three dimensional regular local rings.

The problem of computing generating sequences for an extension $\omega$ of $\nu$ to R_\nu[z]/(f) where R_\nu is the valuation ring of $\nu$ and computing the structure of the associated graded ring of R_\nu[z]/(f) along $\omega$ as an extension of the associated graded ring of R_\nu along $\nu$ has been solved, in papers of MacLane for discrete valuations, and for general valuations by Vaquié.


In joint work with Hussein Mourtada and Bernard Teissier, we establish several theorems showing that MacLane's algorithm can often be used to compute the generators and relations of extensions of associated graded rings along a valuation.
We assume that $A$ contains an algebraically closed field $k$ such that $A/m_A\cong k$ and that the residue field of $\nu$ is isomorphic to $k$.
If the characteristic $p$ of $k$ does not divide the degree of $f$, then we give a very simple algorithm in $A[z]/(f)$ if $\omega$ is the unique extension of $\nu$.
The associated graded ring of $A[z]/(f)$ along $\omega$ is then a finitely generated and presented module over the associated graded ring of $A$ along $\nu$.

If any of the above assumptions are removed, then we give examples showing that the conclusions of the theorem do not hold

We obtain generalizations of this theorem to the case when the extension of the valuation is not unique and when we have not restriction on the degree of the field extension, which we will discuss.
+ Takahiro Saito Computation of Milnor monodromies with mixed Hodge modules 16/10/2018 16:00
Milnor fibers and Milnor monodromies are the most basic invariants of the hypersurface singularities.
I will explain the way to study them, with mixed Hodge modules.
The cohomologies of Milnor fibers have canonical mixed Hodge structures.
If a singular point is an isolated singular point, their weight filtrations are the monodromy weight filtrations, which have the data of the Jordan normal forms of the Milnor monodromies.
To compute them, we express the mixed Hodge structures of the cohomologies of the Milnor fibers in terms of nearby cycle sheaves as mixed Hodge modules.
Then, thanks to the power of the functorial properties of the mixed Hodge modules, we can compute the mixed Hodge structures and the Milnor monodromies of the cohomologies of the Milnor fibers.
In this talk, first, I will introduce the definition of the Milnor fibrations, Milnor fibers and Milnor monodromies of hypersurface singular points.
Second, I will briefly explain the basic notions of mixed Hodge structures and mixed Hodge modules.
Finally, I will demonstrate how to compute the mixed Hodge structures and the Milnor monodromies of the cohomologies of Milnor fibers, with nearby cycle sheaves as mixed Hodge modules.
+ Bac Nguyen Dang Un cone dans l’espace des valuations invariantes par translation 05/06/2018 18:24
Dans cet exposé je vais expliquer comment on peut tenter d’importer les notions de positivité des cycles algébriques en géométrie convexe.

+ Adam Parusinski Generic Zariski equisingularity of surfaces and Lipschitz stratification 22/05/2018 16:00
Consider a (generic) Zariski equisingular family of surface singularities in C^3. We show that a natural stratification of such family given by the family of generic polar curves and the singular locus is a Lipschitz stratification in the sense of Mostowski. In particular, such a family is bi-Lipschitz trivial (that for families of isolated singularities has been shown by Neumann and Pichon). Our proof is based on an analysis of the equisingularity type of generic polar curves due to Briançon and Henry.

Version française : Equisingularité générique de Zariski de surfaces et stratification lipschitzienne. Nous étudions une famille de singularités de surfaces dans C^3, que nous supposons équisingulière au sens de Zariski. Nous montrons qu'une stratification naturelle de cette famille donnée par la famille de courbes polaires génériques et le lieu singulier est une stratification lipschitzienne au sens de Mostowski. En particulier, une telle famille est bi-Lipschitz trivial (ce que pour les familles de singularités isolées a été montré par Neumann et Pichon). Notre preuve est basée sur une analyse du type d'équisingularité des courbes polaires génériques due à Briançon et Henry.
+ Marco Golla Planar contact 3-manifolds and normal surface singularities 13/03/2018 16:00
We give new obstructions to the existence of planar open books for contact structures, in terms of the homology of their fillings, with applications to links of normal surface singularities.
This is based on joint work with Paolo Ghiggini and Olga Plamenevskaya.
+ Antoine Chambert-Loir Combinatoire des matroïdes et anneau de Chow de variétés toriques 27/02/2018 16:00
L'exposé sera consacré à une conjecture de log-concavité des coefficients du polynôme caractéristique d'un matroïde. La preuve que viennent d'en proposer
Adiprasito, Huh et Katz considère l'anneau de Chow d'une variété torique associée au matroïde. Bien que cette variété ne soit pas propre, son anneau vérifie dualité de Poincaré, théorème de Lefschetz fort et relations bilinéaires de Hodge-Riemann. La preuve de la log-concavité est alors analogue à celle des inégalités de Khovanskii-Teissier.

+ Franz-Viktor Kuhlmann Defects, tame and wild 20/02/2018 16:00
Defects can appear in algebraic extensions of valued fields when the residue characteristic is positive. They constitute a major problem in
the structure theory of valued function fields, which in turn has been shown to be of crucial importance in the open problems of local
uniformization in positive characteristic and the model theory of imperfect valued fields. Therefore it is desirable to gain a deeper
understanding of defects.

The title actually contains a contradiction: extensions with nontrivial defect are wild by definition and not tame. However, the title expresses
the observation that some defects appear to be more harmful than others.
In valued fields of positive characteristic defects have been classified to be dependent when they can be obtained from purely inseparable
extensions by a transformation, and independent otherwise.

There are several reasons to believe that the dependent defects are the more harmful ones. For example, Cutkosky and Piltant gave an example of
an extension of two-dimensional valued function fields consisting of a tower of two Artin-Schreier defect extensions where strong
monomialization fails. Work of Cutkosky, ElHitti and Ghezzi has shown that both of them have dependent defect.

Recently we extended the classification to the case of valued fields of mixed characteristic, overcoming the obstacle that they do not have
inseparable extensions. Building on this, we introducedsemitame fields which generalize the class of tame fields; the latter
have played an important role in results on local uniformization and the model theory of perfect valued fields. Semitame fields are close to
Gabber's deeply ramified fields, and thus also to perfectoid fields (but the latter do not fit our purposes well). We hope that important results
on tame fields and the structure theory of their valued function fields can be generalized to the case of semitame fields.

If time permits, I will also mention another result, which relates to a continuation of Cutkosky's and Piltant's study of valued function fields
in dimension 2. While such function fields may admit infinite towers of defect extensions, there are only finitely many essentially distinct
defects, in a sense that will be made precise in the talk.

This is joint work with Anna Blaszczok.
+ Antoni Rangachev Séminaire sur les Singularités 21/11/2017 16:00
In this talk I will introduce a class of singularities that generalizes the class of smoothable singularities: these are all singularities that admit deformations to singularities with deficient conormal spaces. I will discuss how this new class arises from problems in differential equisingularity and how it relates to the local volume of a line bundle. If time permits, I will discuss which known classes of singularities have deficient conormal spaces.
+ Walter Neumann Séminaire sur les Singularités 13/06/2017 16:00
(Joint work with Anne Pichon). If one considers a complex analytic germ with its outer bilipschitz geometry just as a topological object, i.e., a metric space with metric only determined up to bilipschitz equivalence, one can often still recover a large amount of analytic information about the germ. Anne Pichon, near the end of her seminar talk two weeks ago, described many of the analytic invariants of a normal surface germ that can still be seen when only its topology and bilipschitz metric are known. After reviewing this I will describe some of the techniques we use to recover these invariants.
+ Hossein Movasati Séminaire sur les Singularités 02/06/2017 16:00
The origin of Hodge theory goes back to many works on elliptic, abelian
and multiple integrals (periods). In particular, Picard and Simart's book
"Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Vol. I, II."
published in 1897, 1906, paved the road for modern Hodge theory.

The first half of the talk is mainly about these books, for instance, I am going to explain how Lefschetz was puzzled with the computation of Picard rank (by Picard and using periods) and this led him to consider the homology classes of curves inside surfaces. This was ultimately formulated in Lefschetz (1,1) theorem and then the Hodge conjecture.
In the second half of the talk I will discuss periods of algebraic cycles and will give some applications in identifying some components of the Noether-Lefschetz and Hodge locus. The talk is based on my book:
A course in Hodge Theory: With Emphasis on Multiple Integrals,
+ Guillaume Rond Séminaire sur les Singularités 23/05/2017 10:30 Salle 1004
Exceptionnellement à 10h30, salle 1004
(travail en collaboration avec Fuensanta Aroca) Un théorème de MacDonald permet de décrire les zéros de polynômes à coefficients séries formelles en plusieurs variables sur un corps de caractéristique nulle. Plus précisément cet énoncé affirme que ces zéros sont des séries de Puiseux à support dans un cône rationnel strictement convexe, mais plus grand que le premier quadrant. Cependant la réciproque n'est pas vraie : en général une série à support dans un tel cône n'est pas algébrique sur le corps des séries formelles.
Nous allons présenter des conditions pour qu'une série dont le support est inclus dans un cône rationnel strictement convexe soit algébrique sur le corps des séries formelles. Ces conditions font intervenir la forme du support de la série et la taille des "trous" de celui-ci. Enfin nous présenterons une analogie avec le problème qui consiste à déterminer des conditions pour qu'un nombre réel soit un nombre algébrique.
+ Arthur Forey Séminaire sur les Singularités 07/03/2017 16:00
Je présenterai un analogue motivique au nombre de Lelong, similaire à la densité locale introduite par Kurdyka-Raby dans le cas réel et Cluckers-Comte-Loeser dans le cas p-adique. On utilise pour la définir l’intégration motivique de Cluckers-Loeser, dont je rappellerai la construction.
Comme dans les cas sus-cités, il existe un cône tangent distingué sur lequel on peut calculer la densité si on lui attache des multiplicités, qu'on définit en décomposant l'ensemble définissable étudié en graphes de fonctions (localement) 1-Lipschitziennes. Cela implique en particulier une version uniforme du théorème de Cluckers-Comte-Loeser sur la densité p-adique.
+ Delphine Pol Séminaire sur les Singularités 28/02/2017 16:00
Le semigroupe d'une courbe plane irréductible, ou plus généralement d'une courbe Gorenstein irréductible, présente une propriété de symétrie, qui a été généralisée aux courbes à plusieurs branches par Felix Delgado. L'objectif de cet exposé est de présenter une généralisation de cette symétrie qui relie les multi-valuations d'un idéal à celles de son dual. Je me suis intéressée à cette symétrie dans le but de regarder l'idéal jacobien et son dual, le module des résidus logarithmiques. Je donnerai la relation entre les multi-valuations du module des résidus logarithmiques et les multi-valuations des différentielles de Kähler, qui sont un ingrédient clef de la classification analytique des courbes planes à une ou deux branches proposée par Hefez et Hernandes.
+ Bernard Teissier Séminaire sur les Singularités 06/12/2016 16:00
Je montrerai comment réaliser une telle approximation dans des anneaux locaux noetheriens complets et équicaractéristiques et indiquerai de possibles applications à l’uniformisation locale.
+ Alicia Dickenstein Séminaire sur les Singularités 29/11/2016 16:00
In the context of chemical reaction networks with mass-action and other rational kinetics, a major question is to preclude or to guarantee multiple positive steady states. I will explain this motivation and I will present necessary and sufficient conditions in terms of sign vectors for the injectivity of families of polynomials maps with arbitrary real exponents defined on the positive orthant. These conditions extend existing injectivity conditions expressed in terms of Jacobian matrices and determinants, obtained by several authors. In the context of real algebraic geometry, this approach can be seen as the first partial multivariate generalization of the classical Descartes' rule, which bounds the number of positive real roots of a univariate real polynomial in terms of the number of sign variations of its coefficients. This is joint work with Stefan Müller, Elisenda Feliu, Georg Regensburger, Anne Shiu and Carsten Conradi. I will also present some further advances in this multivariate generalization obtained in collaboration with Frédéric Bihan, together with applications to biochemical MESSI systems obtained in collaboration with Mercedes Pérez Millán.
+ Olivier Thom Séminaire sur les Singularités 15/11/2016 16:00
Je vais vous présenter la classification des paires de fonctions de Morse sur $C^n$ localement au voisinage de $0$. Ce problème est un cas particulier du problème plus général : classifier les paires de germes de fonctions $(f,g)$ où $f$ et $g$ sont des fonctions connues (le cas où $f$ et $g$ sont régulières transverses est trivial, et le cas où $f$ est régulière et $g$ de Morse est déjà connu). Comme on le verra, ce cas particulier est déjà suffisamment complexe pour donner un aperçu du problème général.
+ Alicia Dickenstein Séminaire sur les Singularités 08/11/2016 16:00
Severi varieties are classical objects in algebraic geometry which give parameter spaces for nodal hypersurfaces. Mikhalkin's correspondence theorem from 2005
allows to compute tropically the degree of the Severi varieties of nodal curves with a fixed number of nodes defined by polynomials with support in a given lattice polygon.
The tropical curves appearing in Mikhalkin's correspondence theorem can be described by the associated regular subdivision of the support. That is, the set of tropical
curves with a specified combinatorial type counted in Mikhalkin's formula, correspond to polyhedral cones in the associated secondary fan associated with the lattice points in the polygon.
However, these cones are a fraction of all possible cones in the associated tropical Severi variety. E. Katz noted in 2009 that there are maximal cones that are not supported in cones
of the secondary fan. Thus, the combinatorial description of the curves is not enough in many cases to decide if a tropical curve given by a tropical polynomial lies in the corresponding Severi variety.
This behavior was also observed by J. J. Yang, who gave a partial description of the tropicalization of the Severi varieties in 2013 and 2016.

We explore this phenomenon and give a full characterization in the univariate setting, that is, we describe all the cones in the tropical Severi variety defined
by the tropicalization of the variety of univariate polynomials with fixed degree and two double roots. Through Kapranov's theorem, this goal is achieved
by a careful study of the possible valuations of the elementary symmetric functions of the roots of a polynomial with two double roots. Despite its apparent simplicity,
the computation of the tropical Severi variety has both combinatorial and arithmetic ingredients. Joint work with Maria Isabel Herrero and Luis Felipe Tabera.
+ Mickaël Matusinski Séminaire sur les Singularités 22/03/2016 16:00 Bâtiment Sophie Germain, salle 2007
Travail en commun avec M. Hickel (Bordeaux).
Notre objectif est de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux algébrique (sur $K(X)$ le corps des fonctions rationnelles à 1 variable) d'une série de Puiseux formelle.
Plus précisément, nous résolvons les problèmes suivants :
étant donnée une équation polynomiale $P(x,y)=0$ , donner une formule pour les coefficients d'une série de Puiseux $y(x)$ solution en fonction des coefficients de l'équation ;
étant donnée une série de Puiseux algébrique, reconstruire à partir de ses coefficients un polynôme annulateur.
Il existe une littérature variée sur ce thème, que j'essaierai de rapporter, avant d'aborder nos contributions, ainsi que nos motivations concernant cette question, en particulier le cas multivarié.
+ Roi Docampo Séminaire sur les Singularités 15/03/2016 10:30 Bâtiment Sophie Germain, salle 2007
Algebraic varieties (zeroes of polynomial equations) often present
singularities: points around which the variety fails to be a manifold,
and where the usual techniques of calculus encounter difficulties. The
problem of understanding singularities can be traced to the very
beginning of algebraic geometry, and we now have at our disposal many
tools for their study. Among these, one of the most successful is what
is known as resolution of singularities, a process that transforms
(often in an algorithmic way) any variety into a smooth one, using a
sequence of simple modifications.
In the 60's Nash proposed a novel approach to the study of
singularities: the arc space. These spaces are natural higher-order
analogs of tangent spaces; they parametrize germs of curves mapping
into the variety. Just as for tangent spaces, arc spaces are easy to
understand in the smooth case, but Nash pointed out that their
geometric structure becomes very rich in the presence of
singularities.
Roughly speaking, the Nash problem explores the connection between the
topology of the arc space and the process of resolution of
singularities. The mere existence of such a connection has sparked in
recent years a high volume of activity in singularity theory, with
connections to many other areas, most notably birational geometry and
the minimal model program.
The objective of this two-part lecture is to give an overview of the
recent developments on the Nash problem. In the first talk I will
introduce the arc space, explore its connection with valuation theory,
and give a precise description of the Nash problem. In the second part
I will discuss our contribution to the Nash problem (this is joint
work with T. de Fernex). I will give an almost complete proof of our
main theorem, which states that terminal valuations are in the image
of the Nash map. In dimension two, this provides a new proof of the
Nash conjecture (originally proven by Fernandez de Bobadilla and Pe
Pereira).
+ Maximiliano Leyton Séminaire sur les Singularités 16/02/2016 16:00 Bâtiment Sophie Germain, salle 2007
Soient K un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, V une hypersurface ayant une unique singularité isolée (notée 0) et V_m, m >= 0, l'espace de m-jets associé à V. Si on considère une déformations W de V qui préserve la géométrie locale de 0 (par exemple, les déformations à type topologique constant), il est naturel de se poser la question suivante : Est-ce que W induit une déformation des espaces de m-jets V_m ? Dans cet exposé, nous discutons cette question et donnons une réponse affirmative dans le cas qu'il existe une résolution simultanée plongée de W.
+ Jean-Baptiste Campesato Séminaire sur les Singularités 02/02/2016 16:00 Bâtiment Sophie Germain, salle 2007
Nous introduisons d'abord la notion d'équivalence arc-analytique. Il s'agit d'une relation d'équivalence pour les germes Nash (i.e. semialgébriques et analytiques réels). Cette notion coïncide avec l'équivalence blow-Nash mais sa définition ne fait pas intervenir de modification Nash. Ensuite, à un germe Nash, nous associons une fonction zêta motivique locale dont la construction est analogue aux fonctions zêta motiviques de Denef--Loeser. Il s'agit d'une série formelle à coefficients dans un anneau de Grothendieck R*-équivariant similaire à celui de Guibert--Loeser--Merle mais pour les ensembles AS au-dessus de R*. Cette fonction zêta généralise les fonctions zêta de Koike--Parusiński et de Fichou. Elle admet une formule de convolution permettant de calculer la fonction zêta du germe f+g à partir des fonctions zêta des germes f et g. Cette formule permet d'obtenir une classification partielle des polynômes de Brieskorn.
+ Wim Veys Verdier monodromy and the Monodromy Conjecture for ideals in two variables 01/12/2015 16:00 Bâtiment Sophie Germain, salle 2018
The monodromy conjecture states that every pole of the topological (or related) zeta function of a polynomial f induces an eigenvalue of monodromy of f. This conjecture has already been studied a lot, but is in full generality proven only for zeta functions associated to polynomials in two variables. We consider a generalization, working with zeta functions associated to an ideal. First we present in arbitrary dimension a formula (like the one of A'Campo) to compute the Verdier monodromy eigenvalues associated to an ideal. This is used to prove a generalized monodromy conjecture for arbitrary ideals in two variables.
+ Nom Séminaire Singularités 06/06/2014 16:00 Bâtiment Sophie Germain, salle 6071
Résumé
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