| Résume | Travail en commun avec Michel Hickel.
Dans la première partie de l'exposé, je présenterai un état des lieux de notre travail en cours depuis plusieurs années : décrire la clôture algébrique du corps de fraction de $K[[\underline{x}]]$, $\underline{x}=(x_1,\ldots,x_r)$, $car(K)=0$. Nous considérons cette clôture comme un sous-corps du corps des séries de Puiseux ayant un support dans un cône polyédral fortement convexe (d'après McDonald, F. Aroca--Ilardi, Soto--Vicente). J'expliquerai notre stratégie et les résultats partiels que nous obtenons. En particulier, je montrerai comment nous réduisons le problème à comprendre les séries de Puiseux qui sont algébriques sur $K[\underline{x}]$.
Dans la seconde partie de l'exposé, je présenterai les résultats que nous avons obtenu concernant les séries de Puiseux algébriques multivariées :
- étant donné une équation polynomiale $P(\underline{x},y)=0$, nous donnons une formule pour les coefficients d'une solution $y(\underline{x})$ en fonction des coefficients de $P$;
- étant donnée une série algébrique $y(\underline{x})$, nous donnons des formules de reconstruction d'un polynôme annulateur $P(\underline{x},y)$ à partir des coefficients de $y(\underline{x})$.
Cela nous permet d'obtenir une description paramétrique explicite de l'espace des séries algébriques. |
