| Résume | Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, et soient f, g deux éléments non nuls de K[x, y]. Le problème Jacobien en dimension deux affirme que si J(f,g) ∈ K \ {0}, alors K[f,g] = K[x,y]. En 1977, J.Briançon, dans un papier non publié, a démontré que si J(f,g) ∈ K \ {0}, alors les polygones de Newton de f et g sont similaires. Cette propriété a aussi été démontrée par plusieurs auteurs (Oka, Abhyankar,...), mais ne semble pas suffire pour donner une réponse au problème. Dans cet exposé nous considérons la version méromorphe du problème Jacobien (F(X, y) = f(X^(−1), y), G(X, y) = g(X^(−1), y), et J(F, G) ∈ K((X)) \ {0}), et nous introduisons la notion de polygones de Newton par rapport à une série de Puiseux y(x) ∈ K((X^(1/n))), n ∈ N. Cette notion a l’avantage de donner des informations au-delà des premiers pairs de Puiseux déterminés par le polygone de Newton usuel. Nous montrons que sous l’hypothèse Jacobienne, les polygones de Newton de F et G sont - presque - similaires. Nous introduisons ensuite la notion de “bonnes” et “mauvaises” branches et lions, moyennant ces polygones, cette notion aux valeurs atypiques des applications polynomiales f et g. Enfin, nous utilisons l’arithmétique des semi-groupes des branches de F et G pour donner une réponse positive au problème Jacobien lorsque le polynôme f possède au plus trois places à l’infini. |
