| Résume | Les nombres de Bell, P_n, apparaissent en combinatoireénumérative, associés aux nombres de Stirling depremière et deuxième espèce. Ils sontdéfinis de diverses manières :Combinatoirement: P_n = le nombre de partitions d'unensemble à n éléments en sous-ensemblesnon vides,Par leur fonction génératrice exponentielle :\sum_{n\geq 0} P_n {x^n\over n!} = e^{e^x-1}\ ,Par leur fonction génératrice ordinaire:sum_{n\geq 0} P_n x^n = \sum_{n\geq 0} {x^n\over (1-x)\cdots(1-nx)}\ .Ils possèdent de nombreuses propriétésarithmétiques. En particulier ils satisfont les congruencessuivantes conjecturées par M. Zuber etdémontrées par des méthodesélémentaires par A. Gertsch et A. Robert:P_{np}\equiv P_n \bmod np{\bf Z},\ p\neq 2, \quad P_{2n}\equiv P_n\bmod n{\bf Z}Nous en donnons une preuve (plus compliquée) qui relie cescongruences à des propriétés de prolongementanalytique de la fonction génératrice ordinaires desnombres de Bell. Elle montre le lien entre les nombres de Bell et uneextension algébrique de Q_p. Cetteméthode se généralise aisément. |
