| Résume | Les travaux dont je parlerai ont été faits encollaboration avec Yuri Tschinkel.Une conjecture de Batyrev et Manin raffinée par Peyreprédit un développement asymptotique du nombre desolutions rationnelles de taille (hauteur) donnée de certainssystèmes d'équations polynômiales àcoefficients entiers, lorsque cette taille tend vers l'infini. Cedéveloppement fait intervenir des invariants de typegéométrique (le cône effectif dans le groupe dePicard), cohomologiques et arithmétiques (mesures deTamagawa). Cette conjecture, bien que fausse engénéral, est vérifiée dans de nombreuxcas où l'analyse harmonique joue un rôle important(formules de Poisson, séries d'Eisenstein, méthode ducercle,...)Le problème voisin de compter le nombre de solutionsentières a connu récemment une activitéimportante notamment dans le cas des espaces homogènes (Duke,Rudnick, Borovoi, Sarnak, Eskin, McMullen, Mozes, Sah, etc.)Nous montrerons comment la conjecture de Batyrev-Manin segénéralise au cas du décompte de solutionsentières et montrerons comment certaines méthodesprécédemment utilisées pour compter lessolutions rationnelles peuvent s'adapter pour obtenir desrésultats dans cette direction, notamment dans le cas desvariétés toriques. |
