| Résume | Soit $E$ une courbe elliptique sur $\bf Q$ sans multiplicationcomplexe sur $\overline{\bf Q}$. Un th\'eor\`eme de Serre affirmequ'il existe un entier $B$ tel que, pour tout nombrepremier $N$ sup\'erieur \`a $B$, la repr\'esentation de$Gal(\overline{\bf Q} /{\bf Q})$ induite par l'action deGalois sur les points de $N$-torsion de $E$ soit surjective. Serreapos\'e la question suivante : peut-on choisir $B$ ind\'ependammentde$E$ ? Ce probl\`eme se ram\`ene \`a montrer la trivialit\'e, pour $N$assez grand, des points rationnels de quatre familles de courbesmodulaires, \`a savoir $X_0 (N)$, $X_{split} (N)$,$X_{non-split} (N)$ et $X_{{\frak A}_4}$ (on dira qu'un pointd'une de ces courbes est trivial si c'est une pointe, ou bien si laclasse d'isomorphismes de courbes elliptiques qu'il d\'efinit amultiplication complexe sur $\overline{\bf Q}$). Le cas de$X_{{\frak A}_4} (N)$ a \'et\'e \'elimin\'e par Serre. Le fait que$X_0 (N)({\bf Q} )$ n'est compos\'e que de pointes pour $N>163$ estunc\'el\`ebre th\'eor\`eme de Mazur. Dans cet expos\'e, on donnerauncrit\`ere de trivialit\'e de $X_{split} (N)({\bf Q})$, et onmontrera qu'il est v\'erifi\'e pour les nombres premiers satisfaisantcertaines congruences explicites. |
