| Résume | En 1950, E. Borel conjectura que le développement décimal de$\sqrt{2}$ satisfait à certaines lois suivies par un nombre choisi auhasard. Plus précisément, il est attendu que tout irrationnel algébriquesoit un nombre normal. Une mesure classique de la complexité d'une suite àvaleurs dans un ensemble fini consiste à compter le nombre $p(n)$ de motsdistincts de longueur $n$ qu'elle contient. Ainsi, la conjectureprécédente implique que, pour tout entier $b$, le développement $b$-adiqued'un nombre irrationnel algébrique doit etre de complexité maximale (i.e.,$p(n)=b^n$).En 1965, J. Hartmanis and R. E. Stearns ont proposé une approchealternative de la notion de complexité pour les nombres réels endéveloppant l'aspect quantitatif de la notion de calculabilité introduitepar A. M. Turing. Les nombres réels les plus simples en ce sens sont ditscalculables en temps réel. Le problème de Hartmanis-Stearns, auquel uneréponse négative est attendue, est le suivant : existe-t-il des nombresalgébriques irrationnels calculables en temps réel?Bien que ces deux conjectures soient considérées comme totalement horsd'atteinte, nous présenterons quelques résultats très partiels obtenus al'aide du théorème des sous-espaces de W. M. Schmidt. |
