| Résume | Dans cet exposé nous exposons certains cas récents du problème desous-convexité pour les fonctions $L$: celui des fonction desRankin-Selberg associées à des paires de représentations automorphes sur$GL_2 x GL_2$ (non-nécessairement cuspidales), l'une des représentationsétant "fixe" (mais de type arbitraire \`a l'infini) l'autre de conducteurcroissant et de caractère central arbitraire. Nous exposons deux méthodesqui ne sont pas totalement indépendantes.La première méthode marche sur Q, et utilise des méthodes classiquesde la théorie analytique des nombres. Elle peut etre également utiliséepour résoudre des questions de non-annulation de fonctions $L$(travail en commun avec G. Harcos.)La seconde méthode est basée sur, et étend, l'approche très récente duproblème de sous-convéxite de A. Venkatesh, qui utilise directementles périodes. Elle marche pour les corps de nombres arbitraires(travail en commun avec A. Venkatesh.)Si le temps le permet, certaines applications de ces résultats serontevoquées: le problème de majorer non-trivialement la norme $L^\infty$des formes de Maass de grand niveau et le problème de l'equirépartitiondes sous-orbites toriques (notamment les orbites galoisiennes) de pointsspéciaux pour les variétés de Shimura associées aux algèbres dequaternions sur les corps totalement réels. |
