| Résume | Soit X une surface projective lisse sur un corps fini. Lorenzini,Raynaud et moi-meme venons de montrer que l'ordre du groupe deBrauer Br(X), s'il est fini (conjecturalement vrai), est alorsnécessairement un carré. Ceci est à mettre en parallèle avec lefait que l'ordre du groupe de Tate-Shafarevich d'une variéteabélienne principalement polarisée sur un corps global (conjecturalementfini également) est un carré ou 2 fois un carré. On verra quela ressemblance n'est pas du tout un hasard et que notrepreuve s'appuie sur les résultats de Poonen-Stoll concernant le groupede Tate-Shafarevich, de Kato-Trihan sur la conjecture deBirch-Swinnerton-Dyer, de Milne sur la conjecture d'Artin-Tate,et de notre précédent travail sur la relation entre cesdeux conjectures.Il est amusant de noter que, pendant longtemps on pensaitque l'ordre du groupe de Tate-Shafarevich est toujours un carré,et qu'inversement, celui de Br(X) ne l'est pas toujours.La réponse plus de trente ans après est exactement le contraire ! |
