| Résume | Soit $K$ un corps de nombres totalementréel. Le théorème de Klingen-Siegel est un résultat de rationalitépour les valeurs spéciales de fonctions L (liées aux fonctions zetapartielles) associée à K. Nous donnerons une preuve géométrique de ce théorème. Pour ce faire, nous définirons le polylogarithme d'une famille devariétés abéliennes complexes $A/S$. A partir de cet objet et d'unesection de torsion de $A/S$ , on expliquera comment définir desclasses de cohomologie rationnelles sur $S$, appelées classesd'Eisenstein, que l'on peut décrire explicitement à l'aide de sériesd'Eisenstein-Kronecker. Ces classes ont un intérêt particulier car, d'après Kings, elles ont une origine motivique. Nous spécialiserons alors la situation géométrique au cas où $A/S$ est unefamille modulaire de Hilbert-Blumenthal associée à $K$ et nous considéreronsla compactification de Baily-Borel de la base $S$ qui s'obtient en ajoutant un nombre fini de points, appelés pointes. Nous verrons que le résidu des classes d'Eisenstein en ces pointes, qui est un nombre rationnel, s'exprime à l'aide d'une valeur spéciale de la fonction $L$ associée à $K$ considérée par Klingen et Siegel. |
