| Résume | Un affino\"\i de $X$ de dimension 1, lisseau sens de la géométrie rigide sur un corps $p$-adique $k$, vu commeespace analytique de Berkovich, a la propriété que chacun de sespoints $k$-rationels admet un voisinage ouvert maximal isomorphe audisque ouvert $D_k(0,1^-)$. Il en est de m\^eme pour tout point $x$ de$X$, par extension au corps résiduel $\mathcal{H}(x)$. Un système differentielsur $X$ admet donc un {\it rayon de convergence normalisé} $\mathcal{R}(x)$en chaque point $x \in X$. $X$ est en fait un graphe infini, formépar des arbres plantés sur le squelette de $X$, et la fonction $x\mapsto \mathcal{R}(x)$ est continue, logarithmiquement affine par morceaux,et logarithmiquement concave sur les ar\^etes. La dérivéelogarithmique de cette fonction le long d'une ar\^ete en ses sommetsest (dans le cas o\`u $\mathcal{R}$ vaut $1$ à ce sommet) la plus grandepente au sens de Christol-Mebkhout dans l'anneau de Robbacorrespondant. Ces notions se transposent aux fibrés à connexion$(\mathcal{E},\nabla)$ sur des courbes algébriques projectives et lisses $X$,o\`u (surtout en genre $\leq 1\,$!) on ajoute la donnée d'un modèleformel strictement semistable $\mathcal{X}$ de $X$, et on suppose que $\mathcal{E}$provient d'un $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$-module localement libre. Si le fibré àconnexion a des singularités polaires sur la courbe $X$, et si tousles objets sont définis sur $\overline{\mathbb{Q}}$, on peut définir $\mathcal{R}(x)$ en neconsidérant que des disques qui ne touchent pas aux points singuliers(comme quoi on ajoute au squelette $S(\mathcal{X})$ une ar\^ete pour chaquepoint singulier), et on montre qu'elle s'étend par continuité à $X$toute entière. La m\^eme dérivée logarithmique au points singuliers,donne le rang d'irrégularité de Poincaré-Katz en ce point. \par\medskip La partie analytique de cet exposé découle d'une collaboration avec Lucia Di Vizio. " |
