Séminaires : Séminaire Théorie des Nombres

Equipe(s) : tn,
Responsables :Ziyang Gao, Marc Hindry, Bruno Kahn, João Pedro P. dos Santos
Email des responsables : ziyang.gao@imj-prg.fr
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Orateur(s) Denis Benois - ,
Titre Zéros triviaux des fonctions L de Perrin-Riou
Date02/02/2009
Horaire14:00 à 16:00
Diffusion
Résumea th\'eorie de Perrin-Riou associe une fonction $L$d'Iwasawa $L_{\text{\rm Iw}}(M,s)$ \`a un motif $M$ ayant bonner\'eduction en $p$ et la conjecture principale pr\'edit que$L_{\text{\rm Iw}}(M,s)$ ne diff\`ere de la fonction $L$$p$-adique que par une unit\'e dans l'alg\`ebre d'Iwasawa.Perrin-Riou a montr\'e que si le facteur eulerien $E_p(M,s)$ de$M$ en $p$ ne s'annule pas en $s=0$ et $s=1$, la valeur sp\'ecialede $L_{\text{\rm Iw}}(M,s)$ en $s=0$ v\'erifie la conjecture deBloch et Kato \`a une unit\'e pr\`es.Le ph\'enom\`ene des z\'eros triviaux appara\^{\i}t lorsque lefacteur eulerien $E_p(M,s)$ s'annule en $s=0$ ou $s=1.$ Dans cecas la fonction $L$ $p$-adique peut avoir un z\'ero d'ordrestrictement sup\'erieur \`a celui de la fonction $L$ complexe.Si $M$ est ordinaire en $p$, Greenberg lui a associ\'eun invariant $\ell_p$ et a conjectur\'e que $\ell_p$ intervientdans la formule liant les valeurs sp\'eciales de la fonction $L$$p$-adique et de la fonction $L$ complexe comme un facteursuppl\'ementaire.En utilisant la th\'eorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules,on g\'en\'eralise la d\'efinition de $\ell_p$ \`atoutes les repr\'esentations semi-stables. On montre ensuiteque dans le cas de z\'eros triviaux, cet invariant intervientcomme facteur suppl\'ementaire dans la formule \`ala Bloch et Kato pour la valeur sp\'eciale de $L_{\text{\rmIw}}(M,s)$ en $s=0$.
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