| Résume | Soit ${\bf F}$ un corps fini, et soit $\rho$ une repr\'esentationcontinue, irr\'eductible et impaire du groupe de Galois absolu de~${\bfQ}$ dans ${\rm GL}_2({\bf F})$. La conjecture de Serre, qui a \'et\'ed\'emontr\'ee par Khare, Wintenberger et Kisin, dit que $\rho$ estmodulaire, c'est-\`a-dire qu'il existe une forme modulaire~$f$ sur~${\bfF}$ dont les coefficients sont li\'es dans un sens pr\'ecis auxpolyn\^omes caract\'eristiques des \'el\'ements de Frobeniussous~$\rho$. J'expliquerai un algorithme qui calcule $\rho$ defa\c{c}on explicite en temps polynomial probabiliste par rapport auniveau et au poids de~$f$ et au cardinal de~${\bf F}$, sousl'hypoth\`ese de Riemann g\'en\'eralis\'ee. Cet algorithme, d\^u \`aCouveignes, Edixhoven et collaborateurs, dont l'orateur pour l'extensionaux niveaux~$>1$, utilise des calculs dans les jacobiennes de courbesmodulaires sur des corps finis pour `approcher' $\rho$. Un autreingr\'edient essentiel est une majoration de la pr\'ecision requise aumoyen de la th\'eorie d'Arakelov. |
