Séminaires : Séminaire Théorie des Nombres

Equipe(s) : tn,
Responsables :Ziyang Gao, Marc Hindry, Bruno Kahn, João Pedro P. dos Santos
Email des responsables : ziyang.gao@imj-prg.fr
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Orateur(s) Bruno KAHN - ,
Titre Une formule motivique pour la fonction $L$ d'une variété abélienne sur un corps de fonctions
Date03/03/2014
Horaire14:00 à 16:00
RésumeSoit $A$ une variété abélienne sur un corps de fonctions d'une variable $K$ sur un corps fini $k$. La formule qu'évoque le titre s'obtient en transformant l'expression de $L(A,s)$ donnée par la formule des traces de Lefschetz-Grothendieck-Verdier en un produit de fonctions zêta de motifs de Chow sur $k$. Un nouveau venu est un motif effectif de poids~$2$, qui contrôle le groupe de Tate-Shafarevich \og géométrique\fg~ de~$A$. Cela permet de retrouver un théorème de Kato et Trihan: l'ordre de $L(A,s)$ en $s=1$ est égal au rang de $A(K)$ si et seulement si l'une des compostantes $l$-primaires du groupe de Tate-Shafarevich (\og arithmétique\fg) de $A$ est fini.La preuve se fait par réduction au cas de la jacobienne d'une courbe~$\Gamma$ sur~$K$. Dans ce cas, on obtient aussi une comparaison précise entre $L(A,s)$ et $\zeta(S,s)$, où $S$ est une $k$-surface projective lisse birationnelle à~$\Gamma$.Si l'on remplace $k$ par un corps global~$F$, on obtient une définition de $L(A,s)$ pour une variété abélienne $A$ définie sur un corps de dimension de Kronecker 2, et un analogue du calcul précédent pour une $F$-surface projective lisse.
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