| Résume | Nous discuterons un graphe qui décrit les propriétés de
divisibilité des entiers par des nombres premiers. En montrant que
ce graphe possède une propriété d'expansion locale forte presque
partout, nous obtiendrons plusieurs conséquences dans la théorie
analytique des nombres, au-delà de la barrière de parité. Par
exemple: pour $\lambda$ la fonction de Liouville, $$\frac{1}{\log x}
\sum_{n\leq x} \frac{\lambda(n) \lambda(n+1)}{n} =
O\left(\frac{1}{\sqrt{\log \log x}}\right),$$
ce qui est plus fort qu'un résultat bien connu de Tao (2015);
comme lui, nous utilisons des résultats de Matomäki et Radziwill
sur la moyenne de $\lambda(n)$ dans des intervalles courts. Nous
prouvons aussi, par exemple, que $\lambda(n+1)$ est $0$ en moyenne
à presque toute échelle quand $n$ est restreint aux entiers avec
exactement $\Omega(n)=k$ diviseurs premiers, pour une valeur
"populaire" arbitraire de $k$ (i.e., $k = \log \log N + O(\sqrt{\log
\log N})$ pour $n\leq N$). |
