Résume | Soit X une variété complexe compacte. Si (E, ∇E′′) est un fibré holomorphe et $𝑔_{E}$ est une métrique hermitienne sur E, on peut construire la connexion de Chern ∇E et la forme caractère de Chern correspondante, à valeurs dans les formes fermées qui sont des sommes de formes de type (𝑝, 𝑝).
J’étendrai cette construction à des faisceaux cohérents arbitraires sur une variété X qui n’est pas nécessairement projective ou kählérienne à l’aide de la notion de superconnexion antiholomorphe introduite par Block. Une superconnexion antiholomorphe est un opérateur différentiel d’ordre 1, de même symbole que ∂, dont le carré est nul.
A l’aide de métriques généralisées, on construit un caractère de Chern à valeurs formes, dont la classe de cohomologie est à valeurs dans la cohomologie de Bott-Chern.
Pour des variétés complexes et des faisceaux cohérents généraux, on montre un théorème de Riemann-Roch-Grothendieck.
L’exposé rend compte d’un travail commun avec Shu SHEN et Zhaoting WEI. |