| Résume | Les inégalités de comparaison (Toponogov, Myers, Bishop- Gromov) sont des outils essentiels de l’étude des variétés à courbure sectionnelle ou de Ricci positive. Jusqu’à récemment ces outils n’avaient pas d’analogue pour les variétés à courbure scalaire positive : tous les résultats sur ces variétés étaient de nature topologique.
On présentera des progrès plus ou moins récents dus à Gromov dans cette direction utilisant des hypersurfaces minimales ainsi que ce que Gromov appelle les « mu-bulles ». On montrera en particulier qu’une métrique à courbure scalaire supérieure à n(n-1) sur T^(n-1) x [-1,1] (n≤7) ne peut avoir ses deux composantes de bord trop éloignées. On terminera en montrant comment la courbure scalaire positive contrôle la taille des 2-sphères minimales dans
S2 x T^(n-2), S2 x R2 et S2 x S2. |
