Séminaires : Séminaire de Géométrie

Le calcul d’invariants géométriques extrinsèques tels que la courbure ou les directions principales pose beaucoup de problèmes de définition et de convergence, en général traités spécifiquement selon le type de discrétisation. Dans une série de travaux avec Jacques-Olivier Lachaud et Boris Thibert (et al.), nous avons défini un formalisme, dit de courants corrigés, fondé sur la théorie géométrique de la mesure, et qui fonctionne pour tout type de surface discrète. Sa convergence peut être prouvée et estimée, et il fonctionne en pratique mieux que n’importe quel autre modèle. Comme il ne s’appuie pas vraiment sur la structure combinatoire, il donne d’excellents résultats y compris sur des surfaces aussi peu structurées que les nuages de points.
 

Grâce aux travaux de J. Jost, toute boule riemannienne convexe de dimension 3 contient soit une sphère minimale soit un disque minimal à bord libre. Si la courbure de Ricci est positive et les courbures principales du bord sont minorées par 1, nous expliquerons qu'il est alors possible de majorer le périmètre du disque minimal par $2\pi$. De plus le périmètre vaut $2\pi$ si et seulement si la boule riemannienne est isométrique à la boule euclidienne de rayon 1.

Il s'agit d'un travail en commun avec Abraao Mendes.
 

La constante de Cheeger (ou constante isopérimétrique) d'une surface hyperbolique mesure la difficulté de couper en deux la surface. Dans cet exposé je parlerai d'un travail en commun avec Thomas Budzinski et Nicolas Curien sur la constante de Cheeger maximale possible d'une surface hyperbolique fermée.

In this talk, we study the first eigenvalue of the Jacobi operator on an integral
n-varifold with constant mean curvature in space forms.
We find optimal upper bounds and prove rigidity results characterizing the case when
they are attained.
These give a new characterization for certain Clifford tori and catenoids.
The talk is based on joint works with H. T. Dung, J.C. Pyo, and Hung Tran.

 

Nous commencerons par rappeler quelques inégalités optimales classiques pour les hypersurfaces de l'espace euclidien dont le cas limite a lieu uniquement pour les sphères géodésiques (comme la majoration de Reilly de la première valeur propre du laplacien par exemple). Après avoir remarqué que ces inégalités découlent toute d'une minoration de la norme L^2 du vecteur position, nous donnerons un résultat de stabilité pour cette minoration. Nous en déduirons des résultats de proximité avec les sphères géodésiques pour les autres inégalités optimales déjà mentionnées et si le temps le permet, nous donnerons quelques applications géométriques.

Dans les années 1980, des géomètres ont étudié le degré twistoriel d’une surface S dans une
4-variété, donné par la somme des degrés des fibrés tangent TS et normal NS.
Une question s’est alors posée : si une suite S_n de surfaces immergées dégénère en une
surface S_0 avec des points de branchement, comment comparer les degrés twistoriels de S_n
et de S_0 ?
Je regarde ce problème localement près d’un point de branchement p de S_0, en comparant
les quantités de courbure des TS_n et NS_n qui se concentrent près de p quand n tend vers
l’infini. La topologie permet d’apporter des éléments de réponse avec des résultats sur les
tresses. On s’intéressera en particulier au cas des surfaces minimales.
 

Une immersion isométrique x : Σ → En est dite biharmonique si ∆^2x = 0 i.e si ∆H = 0, ou ∆ et H sont respectivement le Laplacien de la métrique et la courbure moyenne de Σ. Il est établi que les hypersurfaces biharmoniques de E3 (resp. E4 ) sont minimales ( B.Y. Chen et G. Y. Jiang 1986) , (resp. T. Hasanis et T Vlachos 1995). Plus généralement B.Y. Chen conjectura qu’une sous-variété biharmonique de En devait être minimale. L’étude d’une famille plus large d’hypersurfaces - dites hypersurfaces biconservatives – nous permettra de savoir si les hypersurfaces biharmoniques de En sont toutes minimales.

I discuss a parametrization for the moduli space of Constant Mean Curvature
(CMC) immersions of a closed surface S (orientable and of genus at least 2) into
hyperbolic 3-manifolds by pairs describing the tangent bundle of the
Teichmueller space of S.
For any such pair, we determine uniquely the pullback metric and the second
fundamental form of the immersion by solving the Gauss - Codazzi equations.
Indeed, solutions of the Gauss-Codazzi equations correspond to critical points
of a suitable “Donaldson -functional” introduced by Gonsalves-Uhlenbeck
(2007), and (in collaboration with M. Lucia an Z. Huang (2022)) we show that
such functional admits a global minimum as its unique critical point.
In addition I shall discuss the asymptotic behavior of those minimizers and
obtain a “convergence” result in terms of the Kodaira map.
For example, in case of genus 2, it is possible to catch at the limit “regular”
CMC 1-mmersions, except in very rare situations which relate to the image, by
the Kodaira map, of the six Weierstrass points of S.
If time permits, I shall mention further progress for higher genus obtained in
collaboration with S. Trapani.
 

The notion of (G,X)-structure on a manifold introduced by Ehresman and popularized by Thurston is an interpretations of a "geometric structure" allowing via the developing map Theorem to efficiently express and prove uniformization results such as: "every compact locally Euclidean manifold is isomorphic to a quotient of the Euclidean space by a discrete group of isometry".

Singularities, such as conical singularities, are common place in constructions of manifolds endowed with such structures. On the one hand, the notion of singular (G,X)-manifold is not so well-defined and is usually understood as "there is a (G,X)-structure on the complement of the (n-2)-facet of a simplicial decomposition". On the other hand, we may want to use developing maps and holonomies to express and prove uniformization results for singular (G,X)- manifolds. Furthermore, leaving the realm of metric structures, interesting singularities become more complex.

In order to help manipulations of singular (G,X)-manifolds, we give a topological caracterization of reasonable singular locii and provide tools allowing to build developing maps in non-trivial situations. Doing so, we prove some new results on branched covering à la Fox.

To illustrate these methods we prove a uniformization result for flat Lorentzian 3-manifolds endowed with a type of cuspidal ends.

     I will present explicit examples, and Baecklund transformations relating them.
 

Les surfaces de Willmore permettent d'appréhender les
transformations conformes de surfaces minimales. Une première question
fondamentale pour la compréhension de l'espace de modules de ces surfaces est
de savoir si, étant donné une famille de surfaces de Willmore d'énergie bornée,
celle-ci converge ou non vers une surface limite.
Dans cet exposé, nous montrerons que sous une hypothèse d'indice borné, une
telle suite converge fortement vers une surface limite modulo des bulles. Pour
ce faire, nous étudierons la question du point de vue de l'application de Gauss
conforme.

In this talk we will present some analysis aspects of gauge theory in high dimension. First, we will study the completion of the space of arbitrary

smooth bundles and connections under Lp-control of their curvature. We will start from the classical theory in critical dimension (i.e. n=2p) and then move to

the super-critical dimension (i.e. n>2p), making a digression about the so called “abelian” case and thus showing an analogy between p-Yang-Mills fields on

abelian bundles and a special class of singular vector fields. In the last part, we will show how the previous analysis can be used in order to

build a Schoen-Uhlenbeck type regularity theory for Yang-Mills fields in supercritical dimension.

La théorie de Kaluza-Klein est une première tentative d'unification
de l’électromagnétisme avec la relativité générale, datant des années 1920.
L'idée principale de cette théorie est de considérer les équations d'Einstein sur
un espace-temps produit en dimension 4+1, symétrique dans la direction
supplémentaire. L'ajout de dimensions compactes est maintenant présent dans
de nombreuses théories physiques : théorie des cordes, supergravité...
D'un point de vue mathématique, il est intéressant de se demander quel est le
comportement des solutions des équations d'Einstein en présence d'une direction
supplémentaire compacte, sans hypothèse de symétrie.
Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec Caterina Vâlcu,
ainsi qu'un travail avec Annalaura Stingo et Zoé Wyatt, dans lesquels nous nous
intéressons aux données initiales, et à la stabilité de la solution de Minkowski
dans ces espaces produits.
 

En 1949, Alexander Pogorelov discrétise le Théorème de Lusternik–
Schnirelmann : il prouve l'existence de trois quasi-géodésiques simples et
fermées sur tout polyèdre convexe. Sa preuve ne fournit pas de bornes sur la
longueur des trois quasi-géodésiques.
Nous proposons une autre preuve d'existence d'une quasi-géodésique simple et
fermée sur toute sphère polyédrale, non nécessairement convexe, de longueur
bornée. L'outil principal de cette preuve est un flot par disques appliqué à un
balayage de la sphère par des cercles, version discrète d'une idée originale de
Haas et Scott. La borne sur la longueur nous permet dans un second temps de
construire en temps exponentiel une telle quasi-géodésique.


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Nous montrons l'existence de disques non plans minimaux à bord libre
plongés dans des ellipsoïdes de révolution de R3. Ce résultat semble surprenant,
sachant que de tels disques ne peuvent exister dans la boule par Nitsche, et que par
analogie, toutes les géodésiques simples fermées dans des ellipsoïdes doivent être
planes. Le résultat est comparable à la réponse récente à une question de Yau par
Haslhofer et Ketover : il existe des sphères minimales plongées non équatoriales dans
des ellipsoïdes de R4 suffisamment allongés.
Pour montrer ce résultat, nous utilisons une caractérisation des immersions ramifiées
minimales à bord libre d'une surface dans des ellipsoïdes comme objets critiques de
fonctionnelles qui combinent des valeurs propres de Steklov dépendant d'une
métrique Riemannienne sur la surface. Nous obtenons ces disques non plans par
maximisation de combinaisons linéaires bien choisies de la première et seconde valeur
propre de Steklov parmi les métriques du disque à périmètre fixé. 
Nous expliquerons pourquoi nous construisons également des disques plongés avec 
cette méthode.


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Au précédent exposé on a vu, pour le domaine d'une variété riemannienne
(M,g), un théorème d'approximation polyédrique qui inclut l'approximation le
long d'une courbe générique du transport parallèle riemannien par les transports
parallèles qui existent sur les polyèdres de l'approximation.
On s'attachera à développer les idées de Regge sur un plan mathématique : on
introduira une courbure de type polyédrique qui converge dans l'approximation
vers une "moyenne" évaluée sur un carré test du tenseur de Riemann R( , ) vu
comme champ d'endomorphismes de TxM.
Ces idées permettent d'établir une preuve du théorème que Regge a énoncé en
1961.

 Dans cette première partie, on décrira comment, étant donné
une variété riemannienne lisse (M,g), on peut approcher la métrique
riemannienne et le transport parallèle par ceux définis sur des polyèdres
(plats par morceaux) : l'approximation se fait via la construction d'une
suite de polyèdres.
En conclusion, on présentera un théorème énoncé par Regge, qui sera
développé dans un deuxième exposé : l'intégrale de la courbure scalaire
sur un domaine compact D peut être approchée par une fonctionnelle
qui est bien définie sur tout polyèdre du type considéré.

Il s’agit d’un travail en commun avec Daniel Meyer.
 

Les surfaces minimales à bord libre dans un domaine Ω sont les surfaces minimales qui intersectent orthogonalement le bord ∂Ω. Dans cet exposé, on s’intéressera au cas où Ω est le complémentaire de la boule unité dans Rn. Nous décrirons les exemples invariants par rotation et donnerons quelques résultats de classification. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Abraao Mendes.

L’espace pseudo-hyperbolique H2,n est l’analogue pseudo-
Riemannien de l’espace hyperbolique. Dans cet exposé, j’expliquerai comment
résoudre le problème de Plateau asymptotique dans cet espace : étant donné un
cercle topologique dans le bord à l’infini de H2,n, nous construisons une
unique surface maximale complète qui s’appuie sur ce cercle.
Cette construction repose sur la théorie des courbes pseudo-holomorphes
développée par Gromov.
Il s’agit d’un travail en commun avec François Labourie et Mike Wolf.
 

Une borne inférieure sur la courbure de Ricci d’une variété riemannienne lisse entraine de nombreux résultats analytico-géométriques. Sur la base de cette observation, à la fin des années 1990, Jeff Cheeger et Tobias Colding ont développé une célèbre théorie de structure pour les espaces limites de variétés riemanniennes lisses à courbure de Ricci uniformément minorée. Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents obtenus avec Gilles Carron (Nantes Université) et Ilaria Mondello (Université Paris-Est Créteil) dans lesquels nous montrons que cette théorie de structure reste essentiellement la même si on suppose que la courbure de Ricci satisfait une hypothèse analytique plus faible, à savoir que la partie négative de sa borne inférieure optimale se trouve dans une classe de Kato uniforme. J’expliquerai notamment comment nous appliquons notre théorie de structure pour obtenir des résultats de stabilité torique pour les variétés riemanniennes fermées à constante de Kato petite.

La conjecture d’Hamilton-Lott porte sur la rigidité des métriques riemanniennes dites Ricci-pincées en dimension 3. Nous expliquerons comment le flot de Ricci permet de résoudre cette conjecture. Au coeur de cette preuve se trouve un résultat de stabilité locale en espace au temps initial pour des flots de Ricci partant de conditions initiales singulières. Un tel résultat nous permet alors de se ramener au cas des solutions auto-similaires asymptotiquement coniques qui jouent ici un rôle central. Ce travail est le fruit d’une collaboration avec Felix Schulze et Miles Simon.

Nous démontrons un Théorème de Continuation Unique pour les hypersurfaces non-minimales biharmoniques dans les sphères. Sous les bonnes

hypothèses, ce résultat montre que, pour ces immersions, CMC sur un sous-ensemble ouvert implique globalement CMC.

Nous en déduisons de nouveaux théorèmes de rigidité qui renforcent la conjecture que les sous-variétés biharmoniques dans les sphères euclidiennes

doivent être de courbure moyenne constante.

À part le rayon d’injectivité, la positivité de la courbure scalaire ne
contrôle pas les invariants métriques usuels d’une variété Riemannienne
(volume, diamètre, bas du spectre).
Je montrerai comment contrôler l’aire minimale des surfaces représentant
certaines classes d'homologie (2-systoles) et la distance entre deux
représentants de certaines classes d’homologie (étirement) sous des hypothèses
de courbure scalaire.
Beaucoup de ces inégalités seront non optimales, voire conjecturales. Une
réponse complète sera cependant donnée pour certaines variétés Kahlériennes.

C’est un travail en cours d’élaboration, en collaboration
avec G. Besson, G. Courtois et A. Sambusetti.
Nous considérons deux variétés riemanniennes complètes X et Y
de même dimension entre lesquelles existe une ε-approximation de
Gromov-Hausdorff locale h : Y → X. Nous supposons que Y est
de courbure comprise entre −1 et 1, aucune hypothèse de courbure
n’étant faite sur X.
En utilisant une version riemannienne intrinsèque du barycentre d’une
mesure sur X, et en faisant varier cette mesure en fonction de y ∈ Y , nous
déformons h en une application différentiable H : Y → X qui s’avère être un
difféomorphisme lorsque ε est plus petit qu’une constante universelle ε0 , qui se
calcule en fonction de la dimension et de bornes inférieures des rayons de
convexité de X et de Y .
A l’heure actuelle, ceci donne des résultats de rigidité
différentielle pour les structures canoniques de R4  et de S4 (entre
autres) et des théorèmes de finitude (à difféomorphismes-près) pour
les variétés compactes.

Dans cette exposé, j’étudierai certains liens entre topologie, analyse et géométrie donnés par l’étude du flot géodésique sur les variétés non compacte à courbure négative. Après avoir rappelé les notions classiques d’entropies, je présenterai les notions d’entropie à l’infini et de trou critique, et différentes applications au comptage des orbites fermées, au spectre du Laplacien et au mélange du flot géodésique.

Travail en commun avec S. Gouëzel B. Schapira
 

Nous étudions des familles de métriques de Kähler-Einstein singulières. On développe les premières étapes de la théorie du pluripotentiel en famille qui nous permet d’obtenir un contrôle très précis de l’estimé C0 même si la structure complexe de la variété change.

On peut donc traiter plusieurs contextes géométriques comme des familles de variétés de type général et des familles de variétés Calabi-Yau : on montre que le potentiel d’une métrique Kähler-Einstein singulière sur la fibre générique converge vers le potentiel de la fibre centrale.

Plateau’s problem is one of the central problems in Geometric Analysis and PDE.
Given an arbitrary closed curve in R3, it asks for the existence of an area minimizing
embedded surface with boundary equal to the given curve.
In 1960, Federer and Fleming conceived the theory of currents as a framework for
solving this problem. A different approach was proposed in 1990 by Fröhlich and
Struwe, through the study of level sets of semilinar elliptic equations. They showed
the existence of a minimal surface which was smooth far away from the curve.
I will talk about joint work with Stephen Lynch, in which we show that the surface is
also smooth up to the boundary, thus completing a new solution to Plateau’s problem.
 

Let S be a connected surface with finite negative Euler characteristic and let H be a real number with absolute value less than one. In this talk we show that S appears as a properly embedded, totally umbilic surface with mean curvature H in a hyperbolic 3-manifold of finite volume. Conversely, a complete, totally umbilic surface with mean curvature H, embedded in a hyperbolic 3-manifold of finite volume must be proper and have finite, negative Euler characteristic. Joint work with Colin Adams and William Meeks.

Les représentations presque-fuchsiennes sont des représentations de
groupes de surfaces dans PSL(2, C) admettant une surface minimale
equivariante de courbure principale entre -1 et 1.
Etudiées dans un premier temps par Uhlenbeck en 1983, elles sont toujours
l’objet d’études aujourd’hui, et sont un exemple de correspondance forte entre
propriétés géométriques de variétés hyperboliques de dimension 3 et propriétés
algébriques des représentations associées.
Après avoir discuté des propriétés géométriques de ces représentations, je
donnerai une description possible du locus presque-fuchsien comme un ouvert
du cotangent à l’espace de Teichmüller, et comme espace de quasi-cercles dans
la sphère.

Dans le débat sur l'unicité de la caténoïde comme unique anneau
minimal à bord libre dans la sphère unité vient la question de l'hypothèse du
plongement de l'anneau. Je démontrerai l'existence d'anneaux à bord libre
immergés avec des symétries prismatiques. On peut en voir des images sur le
site de Mario Schulz:
                            https://mbschulz.github.io/fbms/immersed.html
Par contre, quand l'angle d'incidence le long de la sphère unité est différent
de pi/2, il existe des anneaux plongés. Cette théorie est proche du point de vue
de la bifurcation des surfaces de courbure moyenne constante. Cela répond à
une question de Wente sur l'unicité de la caténoïde vue comme surface
capillaire dans la boule unité.

Positively curved manifolds are notoriously hard toclassify. In the early 90's, based on the observation that the few known examples are all highly symmetric,Karsten Grove proposed his "Symmetry Program" which suggests trying to classify such manifolds with the additional hypothesis of symmetry. Much work has been focused on the case of continuous symmetries. In this talk, I'll discuss the case when the isometry group is finite and present some recent results when it is  an elementary abelian two-group.

This is joint work with Lee Kennard and Elahe Khalili Samani.
 

A surface in Euclidean 3-space is called a Weingarten surface if its principal curvatures satisfy an equation W(k1,k2)=0. If this equation is elliptic, the surface is called an elliptic Weingarten surface. Particular cases of elliptic Weingarten surfaces are those with constant mean curvature or constant (positive) Gaussian curvature. In this way, elliptic Weingarten surfaces constitute the natural fully nonlinear version of CMC theory. In this talk we will give an overview on the currently available global results on elliptic Weingarten surfaces. These include Alexandrov and Hopf type theorems, Bernstein type theorems, classification of rotational examples, KKMS theory, finite total curvature, halfspace theorems and isolated singularities. We will specially detail some recent results obtained jointly with Isabel Fernandez.

Le but de cet exposé sera de présenter quelques résultats 
obtenus avec D. Faifman et C. Walsh concernant les géométries de Funk des convexes. Nous avons essentiellement étudier la croissance volumique de ces géométries, ce qui nous mené à énoncer deux conjectures qui impliquent une série de conjectures liées aux 
convexes en générale et aux polytopes convexes en particuliers. 
Cela nous mènera à définir une nouvelle famille d'invariants affines associés aux convexes. En particulier nous verrons que nous avons mis en évidence l'existence d'un invariant associé aux polytopes convexes 
que j'aurais à cœur de vous justifier qu'il est l'analogue pour 
ceux-ci de l'aire centro affine.

La théorie des hérissons a été développée par Yves Martinez-Maure depuis
le début des années 90 et a pour objet de prolonger la théorie de Brunn-
Minkowski aux différences formelles de corps convexes. Cela lui a permis de
résoudre le problème de la conjecture d’Alexandre Danilovitch Alexandrov en
produisant un contre-exemple en 2001.
Dans cet exposé, je tenterai de vous proposer une construction équivalente
à la théorie des hérissons sur l’espace hyperbolique et plus généralement sur les
variétés à courbure sectionnelle constante. Je vous proposerai une définition des
hérissons sur l’espace hyperbolique, et nous en étudierons la cohérence, l’exis-
tence ainsi que les différentes représentations de la même manière que nous
pouvons les trouver dans Rn+1  par les très divers travaux de Yves Martinez-
Maure.
Nous finirons cet exposé par deux questions d’ouverture. La première traitant
de la méthode de construction d’opération sur les hérissons de l’espace hyper-
bolique pouvant correspondre à l’équivalent naturel de la somme de Minkowski
des corps g-convexe de l’espace hyperbolique proposé par Kurt Leichtweiß
dans son article publié en 2003 ”On the addition of convex sets in the
hyperbolic plane”. Et la deuxième traitant de la possibilité de construire une
géométrie de co-contact sur le Lorentziarisé (ie M × R muni de la métrique g -
dt2, avec M une variété Riemannienne) d’une 3-variété Riemannienne à
courbure sectionnelle constante comme l’a déjà observé Yves Martinez-Maure
dans son article de 2017 ”New insights on marginally trapped surfaces” sur
l’espace de Minkowski.
 

By a result of Mazzeo-Pacard, every hyperbolic quasi-Fuchsian manifold admits a compact subset whose complement is foliated by constant mean curvature (CMC) surfaces. However, there exist quasi-Fuchsian manifolds that do not admit a global CMC foliation. A conjecture due to Thurston asserts that every almost-Fuchsian manifold has such a global CMC foliation. In this talk I will discuss a partial result in this direction, obtained in a joint work with Diptaishik Choudhury and Filippo Mazzoli: every quasi-Fuchsian manifold in a neighbourhood of the Fuchsian locus is (uniquely and monotonically) foliated by CMC surfaces. Time permitting, in the final part of the talk I will explain how these foliations induce Hamiltonian flows on the cotangent bundle of Teichmüller space.
 

Nous étudions la structure asymptotique des bouts des K-surfaces de type fini
dans l'espace hyperbolique H3. Nous en déduisons des propriétés géométriques,
non seulement sur ces K-surfaces, mais aussi sur leur espace modulaire.
Un résultat disponible sur https://arxiv.org/abs/1908.04834.

 

On s’intéressera au flot géométrique traduisant la déformation d’une
hypersurface de genre espace de l’espace de Minkowski, de vitesse normale
en chaque point donnée par la courbure scalaire de l’hypersurface. On
présentera en particulier quelques résultats récents concernant les
solitons, solutions particulières du flot par translation verticale.

La systole d'une variété riemannienne est la longueur de la géodésique fermée la plus courte sur cette variété et le nombre de contacts (ou "kissing number") est le nombre de géodésiques fermées non-homotopes qui réalisent la systole. Ce nombre de contacts est un invariant classique et bien étudié dans le cas des tores plats. Je vais parler d'un travail en commun avec Maxime Fortier Bourque dans lequel on a étudié cet invariant pour les variétés hyperboliques en utilisant des formules de trace pour leurs Laplaciens.
 

A uniform measure in Euclidean space R^d is a measure with respect to which balls B(x,r) with center x in the support, are assigned mass dependent of r and independent of the choice x. For example any invariant measure with respect to a subgroup of the isometry group of R^d is uniform, and called a homogeneous measure. However we also have a few exotic examples of non-homogeneous uniform measures, such as the volume measure of the "light cone" {x^2+y^2+z^2=w^2} in R^4.
This class of measures was first studied by David Preiss as the crucial ingredient of his 1987 proof of the Besicovitch conjecture. The complete classification of uniform measures remains a difficult open problem, even restricted to ambient dimension d=2. I will detail the known classification of 1-dimensional uniform measures in R^d for general d, for which, in joint work with Paul Laurain, we show that they are constituted of disjoint unions of helices or of toric knots, or equivalently, of analytic curves all of whose curvatures are constant.
 

Minimal surfaces with finite total curvature in three-dimensional spaces have been widely studied in the recent decades. A celebrated result in this subject states that, if Σ ⊂ R R3 is a complete immersed minimal surface of finite total curvature, then it has finite conformal type. Moreover, its Weierstrass data can be extended meromorphically to the punctures and its total curvature is an integral multiple of 4π..

In this talk, the goal is to present some theorems concerning minimal surfaces in M2 × R, having finite total curvature, where M2 is a Hadamard manifold. We obtain analogous versions of classical results in Euclidean three-dimensional spaces. The main result gives a formula to compute the total curvature in terms of topological, geometrical and conformal data of the minimal surface. In particular, we prove the total curvature is an integral multiple of 2π.

 I will talk about some local and global splitting results on complete Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature. The splitting is achieved through the analysis of some pointwise inequalities of Modica type which hold true for every bounded solution to a semilinear Poisson equation. More precisely, we prove that the existence of a nonconstant bounded solution for which one of the previous inequalities becomes an equality at some point of the manifold leads to the splitting results as well as to a classification of such a solution.
 

Les inversions de surfaces minimales complètes de courbure totale finie dans l’espace euclidien sont des points critiques de l’énergie de Willmore, qui est l’intégrale de la courbure moyenne au carré. C’est un invariant conforme qui a été étudié par Poisson et Sophie Germain au début du XIXème siècle dans le cadre de la théorie des surfaces élastiques. De plus, Bryant a montré que dans le cas de la sphère (dans l’espace à trois dimension), toutes les immersions de Willmore étaient des inversions de surfaces minimales. Les immersions branchées sont une généralisation naturelle car elles apparaissent comme limites faibles ou bulles de suites d’immersions de Willmore d’énergie uniformément bornée. Nous montrons que l’indice de Morse des surfaces de Willmore branchées et conformément minimales dans R3est égal à l’indice de la forme quadratique d’une matrice canoniquement associée dont la dimension est égale au nombre de bouts de la surface minimale correspondante.

The Riemannian Penrose inequality is a fundamental result in mathematical general relativity and provides an estimate for the area of an outermost minimal surface in an asymptotically flat three-manifold solely in terms of the global mass. It was originally proven by Huisken and Illmanen using a weak version of the inverse mean curvature flow which has the crucial property of evolving the so-called Hawking mass in a non-decreasing way. In this talk, I will present a recent result which shows that a suitable version of the Penrose inequality continues to hold if the ambient manifold has a non-compact boundary. The main ingredient in the proof is a free boundary version of the weak inverse mean curvature flow which is obtained as the limit of a new approximation scheme accommodating for the presence of the non-compact boundary.

Obata's theorem characterizes the equality case in the spectral gap inequality for N dimensional Riemannian manifolds with Ricci curvature bounded below by N-1. In this talk I will present an approach to the quantitative study of the shape of eigenfunctions when equality is almost attained. The key tool is the so-called localization technique, which allows to treat possibly non smooth spaces.
The talk is based on a joint work with Fabio Cavalletti (SISSA) and Andrea Mondino (University of Oxford).

 L’exposé portera sur une notion faible de tenseur de courbure dont la définition peut être étendue par régularisation à n’importe quelle mesure de type « varifold », une notion de surface généralisée utilisée en théorie géométrique de la mesure. L’intérêt de cette approche est qu’elle permet de définir d’une façon rigoureuse des courbures approchées non seulement pour des surfaces lisses par morceaux en toute dimension et en toute codimension (on entend ici par surface un k-sous-ensemble de Rn), mais aussi pour des données plus générales, non structurées, par exemple des nuages de points. On présentera des résultats de compacité, de cohérence et de convergence. En outre, comme ces tenseurs de courbure approchés peuvent être calculés explicitement et donc utilisés en pratique, on illustrera l’intérêt de l’approche avec différents tests numériques sur des nuages de points (estimations de courbures et flots géométriques, y compris en présence de bruit et de singularités). Il s’agit d’un travail en commun avec Blanche Buet (Université Paris-Sud) et Gian Paolo Leonardi (Università di Trento).
 

Afin de comprendre les propriétés du groupe des symétries d'une surface, son mapping class group,il 'est utile de regarder son action sur le premier groupe d'homologie de la surface. Pour une surface de type fini, cette action est assez bien comprise. Je vais discuter d'un travail en commun avec Sebastian Hensel et Nicholas Vlamis dans lequel on s'intéresse au cas des surfaces de type infini (c'est-à-dire dont le groupe fondamental n'est pas de type fini).

Most closed 3-manifolds support a hyperbolic metric, uniquely
determined by their topology. Extracting geometric information from a
combinatorial presentation of the manifold is an intriguing and usually
hard problem. In this talk, instead of focusing on a single 3-manifold, we
study the growth rate of geometric invariants in families of 3-manifolds
that share a common combinatorial description. Specifically, we will work
with families of random 3-manifolds as introduced by Dunfield and
Thurston. We will introduce an explicit negatively curved metric on them
and use it to compute volume and spectral gap of the underlying hyperbolic
structures. Joint work with Ursula Hamenstädt.

This talk is about a joint work, still in progress, with Friedrich Tomi (Heidelberg University, Germany) where one investigates the existence of solutions which are invariant by a Lie subgroup of the isometry group of a Riemannian manifold M; acting freely and properly on M, to the Dirichlet problem of a certain class of partial di§erential equations on M: Typical examples of this class are the pLaplacian PDE and the minimal surface equation. This approach may reduce the study of the Dirichlet problem in unbounded to bounded domains and also allows to prove the existence of solutions on domains which are not necessarily mean convex in the case of the minimal surface equation for certain boundary data.

The Willmore energy arises naturally as a measure of how curved an immersed surface in R3 is, with applications in relativity (the Hawking mass). Willmore immersions are critical points of this energy. We will study sequences of Willmore surfaces, which are subject to concentration-compactness phenomena i.e. : bubbling. We will focus on simple minimal bubbles and improve on a previous compactness result.

We will discuss the problem of finding radial graphs with prescribed higher order mean curvature and prescribed boundary in the Euclidean space, using the theory of fully nonlinear elliptic equations. 

It is known that minimal surfaces are unknotted in 3-sphere.
We will see how this fact can be generalized.
(joint with A. Fraser)