| Résume | Nous montrons l'existence de disques non plans minimaux à bord libre
plongés dans des ellipsoïdes de révolution de R3. Ce résultat semble surprenant,
sachant que de tels disques ne peuvent exister dans la boule par Nitsche, et que par
analogie, toutes les géodésiques simples fermées dans des ellipsoïdes doivent être
planes. Le résultat est comparable à la réponse récente à une question de Yau par
Haslhofer et Ketover : il existe des sphères minimales plongées non équatoriales dans
des ellipsoïdes de R4 suffisamment allongés.
Pour montrer ce résultat, nous utilisons une caractérisation des immersions ramifiées
minimales à bord libre d'une surface dans des ellipsoïdes comme objets critiques de
fonctionnelles qui combinent des valeurs propres de Steklov dépendant d'une
métrique Riemannienne sur la surface. Nous obtenons ces disques non plans par
maximisation de combinaisons linéaires bien choisies de la première et seconde valeur
propre de Steklov parmi les métriques du disque à périmètre fixé.
Nous expliquerons pourquoi nous construisons également des disques plongés avec
cette méthode.
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