| Résume | C’est un travail en cours d’élaboration, en collaboration
avec G. Besson, G. Courtois et A. Sambusetti.
Nous considérons deux variétés riemanniennes complètes X et Y
de même dimension entre lesquelles existe une ε-approximation de
Gromov-Hausdorff locale h : Y → X. Nous supposons que Y est
de courbure comprise entre −1 et 1, aucune hypothèse de courbure
n’étant faite sur X.
En utilisant une version riemannienne intrinsèque du barycentre d’une
mesure sur X, et en faisant varier cette mesure en fonction de y ∈ Y , nous
déformons h en une application différentiable H : Y → X qui s’avère être un
difféomorphisme lorsque ε est plus petit qu’une constante universelle ε0 , qui se
calcule en fonction de la dimension et de bornes inférieures des rayons de
convexité de X et de Y .
A l’heure actuelle, ceci donne des résultats de rigidité
différentielle pour les structures canoniques de R4 et de S4 (entre
autres) et des théorèmes de finitude (à difféomorphismes-près) pour
les variétés compactes. |
