| Résume | La théorie des hérissons a été développée par Yves Martinez-Maure depuis
le début des années 90 et a pour objet de prolonger la théorie de Brunn-
Minkowski aux différences formelles de corps convexes. Cela lui a permis de
résoudre le problème de la conjecture d’Alexandre Danilovitch Alexandrov en
produisant un contre-exemple en 2001.
Dans cet exposé, je tenterai de vous proposer une construction équivalente
à la théorie des hérissons sur l’espace hyperbolique et plus généralement sur les
variétés à courbure sectionnelle constante. Je vous proposerai une définition des
hérissons sur l’espace hyperbolique, et nous en étudierons la cohérence, l’exis-
tence ainsi que les différentes représentations de la même manière que nous
pouvons les trouver dans Rn+1 par les très divers travaux de Yves Martinez-
Maure.
Nous finirons cet exposé par deux questions d’ouverture. La première traitant
de la méthode de construction d’opération sur les hérissons de l’espace hyper-
bolique pouvant correspondre à l’équivalent naturel de la somme de Minkowski
des corps g-convexe de l’espace hyperbolique proposé par Kurt Leichtweiß
dans son article publié en 2003 ”On the addition of convex sets in the
hyperbolic plane”. Et la deuxième traitant de la possibilité de construire une
géométrie de co-contact sur le Lorentziarisé (ie M × R muni de la métrique g -
dt2, avec M une variété Riemannienne) d’une 3-variété Riemannienne à
courbure sectionnelle constante comme l’a déjà observé Yves Martinez-Maure
dans son article de 2017 ”New insights on marginally trapped surfaces” sur
l’espace de Minkowski.
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