Séminaires : Séminaire Théorie des Nombres

Equipe(s) : fa, tn, tga,
Responsables :Marc Hindry, Bruno Kahn, Wieslawa Niziol, Cathy Swaenepoel
Email des responsables : cathy.swaenepoel@imj-prg.fr
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Description

http://www.imj-prg.fr/tn/STN/stnj.html

 


Orateur(s) Loïc Merel - IMJ-PRG,
Titre Cycles d’Eisenstein et propriétés de Manin-Drinfeld
Date31/01/2022
Horaire14:00 à 15:00
Diffusion
RésumePar un théorème de Belyi, toute courbe algébrique sur un corps de nombres peut être réalisée comme la compactifiée $X_\Gamma$ du quotient du demi-plan supérieur par un sous-groupe $\Gamma$ d’indice fini dans ${\rm SL}_2({\bf Z})$. Cette situation est encodée par un dessin d’enfant, c’est-à-dire un graphe avec des propriétés simples (l’ensemble des sommets est bicolorié ; les couleurs doivent être différentes aux extrémités d’une arête donnée ; l’ensemble des arêtes associées à un sommet donné est muni d’une action transitive de ${\bf Z}$). Les pointes de la courbe $X_\Gamma$ correspondent aux sommets de ce graphe. Comment déterminer si un diviseur $D$ de degré zéro à support dans l’ensemble $P_\Gamma$ des pointes est de torsion dans la jacobienne $J_\Gamma$ de $X_\Gamma$ ? Le théorème de Manin-Drinfeld affirme que c’est toujours le cas si $\Gamma$ est un sous-groupe de congruence. Cette question, déjà considérée par Scholl d’une part, et K. Murty et Ramakrishnan d’autre part, est intimement liée à la détermination explicite de la {\it classe d’Eisenstein} associée à $D$ : la classe $E_D$ dans ${\rm H}_1(X_\Gamma,P_\Gamma;{\bf R})$ telle que $\int_{E_D} \omega=0$ pour toute forme différentielle holomorphe $\omega$ sur $X_\Gamma$. Nous verrons comment reformuler ce problème de façon agréable lorsque $\Gamma$ est contenu dans $\Gamma(2)$, et lorsqu’on fait usage de certaines jacobiennes généralisées à la place de $J_\Gamma$. La réponse est de nature analytique et fait intervenir (ce que certains appellent) la fonction zeta de Kloosterman. On verra en application ce qui se passe pour la courbe de Fermat ($X^N+Y^N=1$), déjà considérée par Rohrlich, Vélu, Posingies et pour le revêtement d’Heisenberg de la courbe de Fermat, introduit par Murty et Ramakrishnan. Travail joint avec D. Banerjee.
Salle15-25-502
AdresseJussieu
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