| Résume | Par un théorème de Belyi, toute courbe algébrique sur un
corps de nombres peut être réalisée comme la compactifiée
$X_\Gamma$ du quotient du demi-plan supérieur par un sous-groupe
$\Gamma$ d’indice fini dans ${\rm SL}_2({\bf Z})$. Cette situation
est encodée par un dessin d’enfant, c’est-à-dire un graphe avec
des propriétés simples (l’ensemble des sommets est bicolorié ; les
couleurs doivent être différentes aux extrémités d’une arête
donnée ; l’ensemble des arêtes associées à un sommet donné est
muni d’une action transitive de ${\bf Z}$). Les pointes de la
courbe $X_\Gamma$ correspondent aux sommets de ce graphe. Comment
déterminer si un diviseur $D$ de degré zéro à support dans
l’ensemble $P_\Gamma$ des pointes est de torsion dans la
jacobienne $J_\Gamma$ de $X_\Gamma$ ? Le théorème de
Manin-Drinfeld affirme que c’est toujours le cas si $\Gamma$ est
un sous-groupe de congruence. Cette question, déjà considérée par
Scholl d’une part, et K. Murty et Ramakrishnan d’autre part, est
intimement liée à la détermination explicite de la {\it classe
d’Eisenstein} associée à $D$ : la classe $E_D$ dans ${\rm
H}_1(X_\Gamma,P_\Gamma;{\bf R})$ telle que $\int_{E_D} \omega=0$
pour toute forme différentielle holomorphe $\omega$ sur
$X_\Gamma$.
Nous verrons comment reformuler ce problème de façon agréable
lorsque $\Gamma$ est contenu dans $\Gamma(2)$, et lorsqu’on fait
usage de certaines jacobiennes généralisées à la place de
$J_\Gamma$. La réponse est de nature analytique et fait intervenir
(ce que certains appellent) la fonction zeta de Kloosterman.
On verra en application ce qui se passe pour la courbe de Fermat
($X^N+Y^N=1$), déjà considérée par Rohrlich, Vélu, Posingies et
pour le revêtement d’Heisenberg de la courbe de Fermat, introduit
par Murty et Ramakrishnan.
Travail joint avec D. Banerjee. |
