| Résume | Conjecturalement, 1 et les valeurs aux entiers impairs $s\geq 3$ de la fonction zêta de Riemann sont des nombres linéairement indépendants sur $\mathbb Q$ (et ces valeurs sont donc irrationnelles). Presque rien n'était connu dans cette direction jusqu'à ce qu'Apéry prouve en 1978 que $\zeta(3)$ est irrationnel. Puis Ball et Rivoal ont démontré en 2001 que pour tout $\epsilon >0$, au moins $(1-\epsilon) (\log s) / (1+\log 2)$ nombres parmi 1, $\zeta(3)$, $\zeta(5)$, ..., $\zeta(s)$ sont linéairement indépendants sur $\mathbb Q$, lorsque $s$ est impair et suffisamment grand par rapport à $\epsilon$. Dans cet exposé j'expliquerai comment remplacer ce minorant par $0.21 \sqrt{s/\log s}$. La stratégie consiste à remplacer les constructions explicites par l'utilisation d'un lemme de Siegel (qui apparaît en transcendance pour construire des fonctions auxiliaires). |
