Les permutations obtenues à l'aide de marches aléatoires sur les groupes symétriques sont intéressantes à la fois du point de vue théorique (chaînes de Markov) et appliqué (mélanges de cartes). Un phénomène particulièrement intéressant se produit pour certaines de ces marches : la distribution reste très éloignée de la mesure uniforme pendant un nombre précis de pas, puis elle s'uniformise exponentiellement vite. L'un des premiers exemples de ce phénomènes dit de "cut-off" a été donné par Diaconis et Shahshahani pour une marche associée à des transpositions aléatoires. Récemment Teyssier a raffiné ce résultat en décrivant le comportement asymptotique de la distance entre la marche et la loi uniforme.
Dans cet exposé, je présenterai des analogues de ces problèmes dans le cadre des groupes quantiques, et plus précisément des groupes quantiques de permutations. En particulier, je décrirai une marche aléatoire associée aux "transpositions quantiques" et montrerai comment on peut obtenir une description précise du comportement asymptotique de ces marches, qui fera intervenir des lois issues de la théorie des probabilités libres. Il s'agit d'un travail en commun avec L. Teyssier et S. Wang. | 
