| Résume | Soient $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $p\geq 0$ et $V$ une représentation $k$-rationnelle fidèle d'un $l$-groupe $G$. Le problème de Noether demande si $V/G$ est (stablement) rationnelle. Si $l$ est égal à $p$, alors Kuniyoshi a prouvé que cela est vrai, tandis que, si $l$ est différent de $p$, Saltman a construit des $l$-groupes pour lesquels $V/G$ n'est pas stablement rationnel. Donc, la géométrie de $V/G$ dépend fortement de la caractéristique du corps. Nous montrons que pour tous les groupes $G$ construits par Peyre, on ne peut pas interpoler entre le problème de Noether en caractéristique 0 et $p$. Plus précisément, nous montrons qu'il n'existe pas un anneau de valuation complet $R$ de caractéristique mixte $(0,p)$ et un $R$-schéma propre lisse $X\rightarrow Spec(R)$ dont la fibre spéciale et la fibre générique sont toutes deux stablement birationnelles à $V/G$. La preuve combine la théorie de Hodge $p$-adique intégrale de Bhatt-Morrow-Scholze, avec l'étude de l'opérateur de Cartier sur les formes différentielles en caractéristique positive. Il s'agit d'un travail en cours avec Domenico Valloni. |
