| Résume | Une surface à bord (ici un disque topologique) est minimale à bord libre dans une surface S de \(\mathbb{R}^3\) si c’est une surface minimale qui rencontre S orthogonalement le long du bord. Bien sûr, les disques équatoriaux, qui sont plans, satisfont cette propriété sur les ellipsoïdes. Nous montrons l’existence de disques non plans minimaux à bord libre plongés dans des ellipsoïdes \(\mathbb{R}^3\). C’est une réponse à une question posée par Dierkes, Hildebrandt, Küster et Wohlrab en 1992. C’est surprenant car Nitsche en 1985 (et Fraser et Schoen en codimension plus grande en 2014), avait montré que tous les disques minimaux à bord libre dans la sphère sont équatoriaux. Le résultat est comparable à la réponse récente d’une question de Yau en 1987 par Haslhofer et Ketover en 2019 : il existe des sphères minimales plongées non équatoriales dans des ellipsoïdes de \(\mathbb{R}^4\) suffisamment allongés.
Pour démontrer ce résultat, nous utilisons une caractérisation des immersions minimales d’une surface à bords dans des ellipsoïdes comme objets critiques de fonctionnelles qui combinent des valeurs propres de Steklov dépendant d’une métrique Riemannienne sur la surface. Nous obtenons ces disques non plans par maximisation de combinaisons linéaires de la première et seconde valeur propre de Steklov bien choisies parmi les métriques du disque à périmètre fixé. Nous expliquerons pourquoi nous construisons également des disques plongés par cette méthode |
