| Résume | Pour tout entier \(n\ge 1\), on note \(T_{n}\) l'application \(x\mapsto nx\mod 1\) du tore \(\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) dans lui-même. Je présenterai quelques résultats concernant des versions "renforcées" de la conjecture de rigidité mesurable $\times_p$-$\times_q$ de Furstenberg, issues d'un article de R. Lyons de 1988. Je montrerai en particulier comment un argument de catégorie de Baire permet de réfuter la conjecture (C3) de cet article, et d'exhiber pour tous $p,q\ge 2$ des mesures de probabilité continues \(T_{p}\)-invariantes $\mu$ sur \(\mathbb{T}\) telles que \((T_{q^{n}}\mu )_{n\ge 0}\) ne converge pas \(w^{*}\) vers la mesure de
Lebesgue sur \(\mathbb{T}\). |
