Pour un genre $g>0$ donné, nous donnons des bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels d'une courbe projective lisse absolument irréductible de genre $g$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$.
D'abord, on donne une construction explicite qui produit des courbes de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+4\sqrt{q}-32$ points.
Puis en utilisant les sommes de puissances des traces de Frobenius des courbes hyperelliptiques, on obtient une borne inférieure de la forme $1+q+1.71\sqrt{q}$ valable pour $g>2$ et $q>9$ impair.
Enfin, et comme conséquence de la théorie de Katz-Sarnak, on obtient pour tout $g>0$ donné, tout $\epsilon>0$ et tout $q$ suffisamment grand, l'existence d'une courbe de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+(2g−\epsilon)\sqrt{q}$ points rationnels. En plus, on ira au-delà de cette théorie pour essayer d'expliquer les asymétries observées dans la distribution du nombre de points et qui ne sont pas détectées par Katz-Sarnak.
Celui-ci est un travail conjoint avec J. Bergström, E. Howe et C. Ritzenthaler. | 
