| Résume | On dit que deux courbes elliptiques $E,F/\mathbb{Q}$ sont congrues modulo $p$ (pour un nombre premier $p$) si les sous-groupes de $p$-torsion $E[p]$ et $F[p]$ sont isomorphes comme $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$-modules. La conjecture de Frey-Mazur affirme que lorsque $p$ est assez grand par rapport à $E$, toute courbe elliptique $F/\mathbb{Q}$ congrue à $E$ modulo $p$ est isogène à $E$. Nous verrons comment cet énoncé peut se reformuler en termes de points rationnels sur certaines tordues galoisiennes $X_E^{\alpha}(p)$ de la courbe modulaire $X(p)$. Lorsque l'action de Galois sur $E[p]$ a petite image, on peut utiliser les systèmes d'Euler connus pour $GL(2)$ et $GL(2) \times GL(2)$ pour démontrer la conjecture de Bloch-Kato pour certains quotients de la jacobienne des $X_E^{\alpha}(p)$. |
