| Résume | Dans cet exposé, on se donne un élément Y tiré « uniformément au hasard » dans Z^d et on s'intéresse à la fonction aléatoire définie sur Z^d par F(x) = PGCD(x-Y). On s'attachera à donner un sens à cette fonction F et à la décrire explicitement. Plus précisément, on verra deux façons de donner un sens à cette question (tirer X uniformément au hasard dans une grande boîte de Z^d ou dans un compactifié adéquat de Z^d) et démontrera que les deux points de vue s'équivalent pour des boîtes raisonnables mais pas pour des boîtes de Følner quelconques. Enfin, coloriant les sommets de Z^d en blanc ou noir selon que F vaut 1 ou non, on fera de la percolation, c'est-à-dire se demandera combien notre coloriage aléatoire comporte de composantes connexes infinies noires ou blanches (travail en collaboration avec Samuel Le Fourn et Mike Liu). |
