Étant donné un sous-ensemble A d’un groupe localement compact, la constante de doublement est le ratio de la mesure m(A^2) de l’ensemble A^2 des produits de deux éléments de A par la mesure m(A) de A. Cette constante est un objet central tant en combinatoire additive, que dans l’étude des marches aléatoires sur les groupes, en analyse géométrique, et dans bien d’autres domaines.
Dans les espaces Euclidiens le doublement est maintenant particulièrement bien compris. Au-delà, la situation est beaucoup plus mystérieuse. Une conjecture de Breuillard et Green prédit que dans un groupe compact simple cette constante doit être minorée par 2 à la puissance la co-dimension minimale d’un sous-groupe propre.
Dans cet exposé, je discuterai la preuve de cette conjecture en toute dimension. J’expliquerai aussi comment les outils employés ouvrent la porte à d’autres résultats, tels qu’une inégalité à la Brunn—Minkowski ou un résultat de stabilité.
Si le temps le permet, je discuterai aussi un certain nombre de problèmes et conjectures liés. | 
