| Résume | De nouveaux résultats découlent de ma conférence de 2011 au
séminaire mais utilisent aussi des idées déjà formulées dans ma
thèse (1998). Sous des hypothèses naturelles et pour des
homéomorphismes, j'obtiens la présence de nombreuses classes de
Nielsen de points fixes et d'orbites périodiques organisées en tresses
typiques, ainsi que des compacts invariants. Je décris ces classes de
Nielsen dans des cartes topologiques contenant les informations
dynamiques relatives à ces homéomorphismes. L'idée de telles cartes
étaient d'une certaine manière déjà présente dans les
sous-variétés invariantes du champ xi que Patrice Le Calvez m'a permis
d'étudier dans ma thèse, mais je les ai obtenues d'une manière
directe et originale, au cours d'une démarche progressive de remise en
question conceptuelle et de confrontation de la théorie avec des
exemples. Les méthodes sont plutôt celles de Smale dans l'étude des
fer à cheval et je dispose de nombreux exemples illustratifs. Les
points fixes et les orbites périodiques apparaissent en grand nombre,
d'autant plus grand que l'entropie des homéomorphismes considérés est
grande ou encore que la complexité géométrique est grande. On peut
établir que les enlacements des points fixes ne font pas de "saut" :
les valeurs de l'enlacement forment un intervalle d'entiers relatifs. De
plus, on peut également décrire la tresse formée par ces points
fixes. Evidemment, cela représente un gros travail dans le cas
général. De même, on obtient dans la plupart des cas une infinité
d'orbites périodiques, et cela suggère la possibilité d'une nouvelle
preuve de la conjecture de Franks. La présence de nombreux points fixes
et orbites périodiques n'est pas étonnante car par exemple les
polynômes complexes de degré plus grand que 2 possèdent toujours une
infinité d'orbites périodiques. De plus, l'utilisation d'un ordinateur
pour vérifier la présence de ces points fixes s'avère compliquée à
cause de l'instabilité du calcul : de nombreux points fixes
disparaissent. Enfin, cette méthode est conforme à un résultat de
Boris Kolev dans sa thèse. De nombreuses applications de ces résultats
sont également à envisager. |
