| Résume | Soit $X$ une variété algébrique définie sur un corps de nombres $k$. Une question fondamentale en géométrie arithmétique est de décider si $X$ possède un point $k$-rationnel. Une condition nécessaire évidente est que $X$ ait des points locaux dans tous les complétés $k_v$ de $k$, mais cela n’est pas toujours suffisant (dans ce cas, on dit que $X$ est un contre-exemple au principe de Hasse). Nous introduisons dans cet exposé une obstruction cohomologique définie par Manin permettant de détecter le défaut du principe de Hasse, ainsi qu’une propriété appelée « approximation faible ». Nous présentons ensuite la théorie de la descente, une méthode due à Colliot-Thélène et Sansuc. L’esprit de cette dernière est englobé dans une « conjecture de descente », qui a été récemment formulée par Wittenberg. Nous discuterons les cas connus de cette conjecture-là, à savoir ceux des torseurs sous un tore, un groupe fini hyper-résoluble (Harpaz—Wittenberg, 2020 et 2022) ou un groupe linéaire connexe (L., 2023). |
